Chủ đề này có 1 trả lời

[Rias Gremory]

Cho dãy $(u_n)$, xác định bởi $u_1=\frac{5}{2},u_{n+1}=\frac{u_n-2+\sqrt{u_n^{2}+8u_n-4}}{2},\forall n\geq 1$. Đặt $y_n=\frac{1}{u_2^2-4}+\frac{1}{u_3^2-4}+...+\frac{1}{u_{n+1}^2-4}$ . Tính $lim(y_n)$

[Hoang Tung 126]

Cho dãy $(u_n)$, xác định bởi $u_1=\frac{5}{2},u_{n+1}=\frac{u_n-2+\sqrt{u_n^{2}+8u_n-4}}{2},\forall n\geq 1$. Đặt $y_n=\frac{1}{u_2^2-4}+\frac{1}{u_3^2-4}+...+\frac{1}{u_{n+1}^2-4}$ . Tính $lim(y_n)$

-Chọn $n=1= > u_{2}=\frac{u_{1}-2+\sqrt{u_{1}^2+8u_{1}-4}}{2}=\frac{1+\sqrt{89}}{4}> \frac{5}{2}=u_{1}= > u_{2}> u_{1}> 2$

 

-Từ đó bằng quy nạp ta chỉ ra được $u_{n+1}> u_{n}= > u_{n}$ là dãy tăng .

 

-Giả sử dãy $u_{n}$ bị chặn trên ,tức là dãy trên có giới hạn hữu hạn ,tức là tồn tại $a> 0$ thỏa mãn $limu_{n}=a(a> \frac{5}{2})$

 

   Từ dãy đề bài ,chuyển qua giới hạn ta được $a=\frac{a-2+\sqrt{a^2+8a-4}}{2}< = > \sqrt{a^2+8a-4}=a+2< = > a^2+8a-4=a^2+4a+4< = > a=2$ .Điều này vô lý do $a> \frac{5}{2}$. 

 

Do đó dãy không bị chặn trên , tức là $u_{n}\rightarrow +\infty$.

 

 Ta có $u_{n+1}=\frac{u_{n}-2+\sqrt{u_{n}^2+8u_{n}-4}}{2}< = > 2u_{n+1}-u_{n}+2=\sqrt{u_{n}^2+8u_{n}-4}< = > (2u_{n+1}-u_{n})^2+4(2u_{n+1}-u_{n})+4=u_{n}^2+8u_{n}-4< = > 4u_{n+1}^2-4u_{n+1}u_{n}+8u_{n+1}-12u_{n}+8=0< = > u_{n+1}^2-u_{n}u_{n+1}+2u_{n+1}-3u_{n}+2=0< = > u_{n+1}(u_{n+1}-u_{n})+2(u_{n+1}-u_{n})=u_{n}-2< = > (u_{n+1}-u_{n})(u_{n+1}+2)=u_{n}-2< = > (u_{n+1}-u_{n})(u_{n+1}^2-4)=(u_{n}-2)(u_{n+1}-2)< = > \frac{1}{u_{n+1}^2-4}=\frac{u_{n+1}-u_{n}}{(u_{n}-2)(u_{n+1}-2)}=\frac{1}{u_{n}-2}-\frac{1}{u_{n+1}-2}= > \frac{1}{u_{n+1}^2-4}=\frac{1}{u_{n}-2}-\frac{1}{u_{n+1}-2}$

 

Từ đó $\frac{1}{u_{2}^2-4}=\frac{1}{u_{1}-2}-\frac{1}{u_{2}-2},\frac{1}{u_{3}^2-4}=\frac{1}{u_{2}-2}-\frac{1}{u_{3}-2},....\frac{1}{u_{n+1}^2-4}=\frac{1}{u_{n}-2}-\frac{1}{u_{n+1}-2}$

 

$= > y_{n}=\frac{1}{u_{1}-2}-\frac{1}{u_{2}-2}+\frac{1}{u_{2}-2}-\frac{1}{u_{3}-2}+....+\frac{1}{u_{n}-2}-\frac{1}{u_{n+1}-2}=> y_{n}=\frac{1}{u_{1}-2}-\frac{1}{u_{n+1}-2}=\frac{1}{\frac{5}{2}-2}-\frac{1}{u_{n+1}-2}=2-\frac{1}{u_{n+1}-2}$

 

Do dãy tăng ,$u_{n}\rightarrow +\infty = > u_{n+1}\rightarrow +\infty = > \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{u_{n+1}-2}=0= > limy_{n}=2-\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{u_{n+1}-2}=2$

 

     Vậy $lim (y_{n})=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daicagiangho1998: 18-02-2015 - 14:46