Chủ đề này có 1 trả lời

[hoanglong2k]

1. Cho tứ giác ABCD thay đổi thoả mãn $AC\perp BD$ và luôn nội tiếp trong một đường tròn $(O;R)$ cố định.Gọi $p$ là chu vi tứ giác ABCD. C/m $\frac{AB^2}{p-AB}+\frac{BC^2}{p-BC}+\frac{CD^2}{p-CD}+\frac{DA^2}{p-DA}\geq \frac{4R\sqrt2}{3}$

2. Chứng minh bđt với mọi tam giác ABC: 

$cos^2\frac{A-B}{2}+cos^2\frac{B-C}{2}+cos^2\frac{C-A}{2}\geq 24.sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 19-02-2015 - 01:05

[NMDuc98]

2. Chứng minh bđt với mọi tam giác ABC: 

$cos^2\frac{A-B}{2}+cos^2\frac{B-C}{2}+cos^2\frac{C-A}{2}\geq 24.sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}$

Ta có:

$$\cos\frac{A-B}{2}-\cos\frac{A+B}{2}=2\sin \frac{A}{2}\sin\frac{B}{2} ~~~~(1)\\ \cos \frac{A+B}{2}=\sin\frac{C}{2}~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Cộng vế theo vế $(1)$ và $(2)$ và áp dụng BĐT AM-GM ta có ngay:

$$\cos\frac{A-B}{2}=\sin\frac{C}{2}+2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2} \ge 2\sqrt{2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}\\ \Rightarrow \cos^2\frac{A-B}{2} \ge 8.\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$$

Tương tự với hai cái còn lại cộng vế theo vế là được điều phải chứng minh.

Dấu $=$ xảy ra khi $\Delta ABC$ đều.