Cho đa thức $f(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$ và là một đa thức đơn khởi (đa thức có hệ số bậc cao nhất bằng $1$. Chứng minh rằng nếu $|f(0)|$ không phải là một số chính phương thì đa thức $f(x^2)$ cũng bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$
Đa thức $f(x^2)$ cũng bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$
#1
Posted 19-02-2015 - 22:32
#2
Posted 23-02-2015 - 15:53
Giả sử $f(x^{2})$ không phải là đa thức bất khả quy hay $f(x^{2})$ có thể phân tích thành hai đa thức có bậc nhỏ hơn ( ở đây là bậc 1) . Ta có :
$f(x^{2})=ax^{2}+b=a(x+1)^{2}-(2ax+a-b)=(x\sqrt{a}+\sqrt{a})^{2}-(2ax+a-b)$(*)
Nếu a không là số chính phương thì bài toán được chứng minh
Nếu a là số chính phương :
a . Nếu $2ax+a-b$ không là số chính phương thì bài toán được chứng ming xong
b. Nếu $2ax+a-b$ là số chính phương thì : $f(x^{2})(*)=(x\sqrt{a}+\sqrt{a}-\sqrt{2ax+a-b})(x\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt{2ax+a-b})$
Ta cần chứng minh : $\sqrt{a}-\sqrt{2ax+a-b}$ không là số nguyên .
Thật vậy giả sử : $\sqrt{a}-\sqrt{2ax+a-b}$ là số nguyên thì $2ax+a-b$ là một số chính phương .
Hay : $a(2x+1)-b=k^{2}$ . Cho $x=-\frac{1}{2}$ thì $-b=k^{2}$ ( vô lý )
Vậy ta có ĐPCM
P/s : Bài này em làm thiếu trường hợp ,tối bổ sung !!!
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -
#3
Posted 24-02-2015 - 19:43
Giả sử $f(x^{2})$ không phải là đa thức bất khả quy hay $f(x^{2})$ có thể phân tích thành hai đa thức có bậc nhỏ hơn ( ở đây là bậc 1) . Ta có :
$f(x^{2})=ax^{2}+b=a(x+1)^{2}-(2ax+a-b)=(x\sqrt{a}+\sqrt{a})^{2}-(2ax+a-b)$(*)
Nếu a không là số chính phương thì bài toán được chứng minh
Nếu a là số chính phương :
a . Nếu $2ax+a-b$ không là số chính phương thì bài toán được chứng ming xong
b. Nếu $2ax+a-b$ là số chính phương thì : $f(x^{2})(*)=(x\sqrt{a}+\sqrt{a}-\sqrt{2ax+a-b})(x\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt{2ax+a-b})$
Ta cần chứng minh : $\sqrt{a}-\sqrt{2ax+a-b}$ không là số nguyên .
Thật vậy giả sử : $\sqrt{a}-\sqrt{2ax+a-b}$ là số nguyên thì $2ax+a-b$ là một số chính phương .
Hay : $a(2x+1)-b=k^{2}$ . Cho $x=-\frac{1}{2}$ thì $-b=k^{2}$ ( vô lý )
Vậy ta có ĐPCM
P/s : Bài này em làm thiếu trường hợp ,tối bổ sung !!!
Không đúng nha bạn ! @@~
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
#4
Posted 24-02-2015 - 20:37
Cho đa thức $f(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$ và là một đa thức đơn khởi (đa thức có hệ số bậc cao nhất bằng $1$. Chứng minh rằng nếu $|f(0)|$ không phải là một số chính phương thì đa thức $f(x^2)$ cũng bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$
Vừa mới tra google mới biết bất khả quy là gì
Ta giả sử $f(x)$ có dạng $ax+b$ với $a,b\in \mathbb{Z}$ thì theo đầu bài ta có $(a,b)=1$
Giả sử $f(x^2)$ không là hàm bất khả quy thì $f(x^2)$ có dạng $(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)$ với $a_1,a_2,b_1,b_2\in \mathbb{Z}$ ( do $(a,b)=1$ )
Ta có $ax^2+b=(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)=a_1a_2x^2+(a_1b_2+a_2b_1)x+b_1b_2$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=a_1a_2\\b=b_1b_2 \\ \dfrac{a_1}{b_1}=-\dfrac{a_2}{b_2}\end{matrix}\right.$
Chỗ này là sao ạ. Đâu thể có $deg f=1$ ~~
Nhìn lộn đề :v
Edited by Idie9xx, 25-02-2015 - 08:31.
#5
Posted 24-02-2015 - 20:52
Vừa mới tra google mới biết bất khả quy là gì
Ta giả sử $f(x)$ có dạng $ax+b$ với $a,b\in \mathbb{Z}$ thì theo đầu bài ta có $(a,b)=1$
Giả sử $f(x^2)$ không là hàm bất khả quy thì $f(x^2)$ có dạng $(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)$ với $a_1,a_2,b_1,b_2\in \mathbb{Z}$ ( do $(a,b)=1$ )
Ta có $ax^2+b=(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)=a_1a_2x^2+(a_1b_2+a_2b_1)x+b_1b_2$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=a_1a_2\\b=b_1b_2 \\ \dfrac{a_1}{b_1}=-\dfrac{a_2}{b_2}\end{matrix}\right.$
Do $(a,b)=1$ nên $(a_1,b_1)=1$ và $(a_2,b_2)=1$Ta có $b_1=-\dfrac{a_1b_2}{a_2}$ do $b_1$ nguyên và $(a_2,b_2)=1$ nên $a_2| a_1$$b_2=-\dfrac{a_2b_1}{a_1}$ do $b_2$ nguyên và $(a_1,b_1)=1$ nên $a_1| a_2$$\Rightarrow |a_1|=|a_2|\Rightarrow |b_1|=|b_2|$$\Rightarrow |b|$ là số chính phương hay $|f(0)|$ là số chình phương.Từ đây ta có thể suy ra điều phải chứng minh
Chỗ này là sao ạ. Đâu thể có $deg f=1$ ~~
- Idie9xx likes this
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
#6
Posted 25-02-2015 - 08:44
Vừa mới tra google mới biết bất khả quy là gì
Ta giả sử $f(x)$ có dạng $ax+b$ với $a,b\in \mathbb{Z}$ thì theo đầu bài ta có $(a,b)=1$
Giả sử $f(x^2)$ không là hàm bất khả quy thì $f(x^2)$ có dạng $(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)$ với $a_1,a_2,b_1,b_2\in \mathbb{Z}$ ( do $(a,b)=1$ )
Ta có $ax^2+b=(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)=a_1a_2x^2+(a_1b_2+a_2b_1)x+b_1b_2$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=a_1a_2\\b=b_1b_2 \\ \dfrac{a_1}{b_1}=-\dfrac{a_2}{b_2}\end{matrix}\right.$
Do $(a,b)=1$ nên $(a_1,b_1)=1$ và $(a_2,b_2)=1$Ta có $b_1=-\dfrac{a_1b_2}{a_2}$ do $b_1$ nguyên và $(a_2,b_2)=1$ nên $a_2| a_1$$b_2=-\dfrac{a_2b_1}{a_1}$ do $b_2$ nguyên và $(a_1,b_1)=1$ nên $a_1| a_2$$\Rightarrow |a_1|=|a_2|\Rightarrow |b_1|=|b_2|$$\Rightarrow |b|$ là số chính phương hay $|f(0)|$ là số chình phương.Từ đây ta có thể suy ra điều phải chứng minhNhìn lộn đề :v
Chỗ này hình như là không đúng . VD : $f(x)=8x+24$ có : 8 không chia hết cho 3 ; $24\vdots 3$ ; nhưng 24 không chia hết cho 9 . Nhưng $\bigl(\begin{smallmatrix} 8;24 \end{smallmatrix}\bigr)=8$
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users