Chủ đề này có 9 trả lời

[Vito Khang Scaletta]

Tình hình là mình vừa nghĩ ra 1 nghịch lý... khá là đơn giản về 2 phương trình tương đương nhau

 

Ở lớp 10, trong SGK có định nghĩa rằng: "Hai phương trinh được cho là tương đương với nhau nếu chúng (2 phương trình đó) có cùng tập nghiệm". Ta sẽ đi kiểm tra xem điều này có đúng ko nhé

 

Cho phương trình $x^{3}+2x^{2}-2x-12=0\Leftrightarrow (x-2)(x^{2}+4x+6)=0 \Leftrightarrow x=2$

và phương trình $x^{4}+2x^{3}-10x^{2}-16x+40=0\Leftrightarrow (x^{2}-4x+4)(x^{2}+6x+10)=0 \Leftrightarrow x=2$

Ở lớp 10 (trở xuống), ta chưa được học về số phức nên đến đậy là hoàn toàn đúng. Rõ ràng ta thấy rằng 2 phương trình trên có cùng tập nghiệm $S=\left \{ 2 \right \}$ nên ta kết luận rằng 2 phương trình này tương đương với nhau.

 

Kết luận như vậy có đúng ko khi rõ ràng 1 phương trình bậc 4 (hệ số $a\neq 0$) có thể tương đương với 1 phương trình bậc 3 được ?

Vậy thì định nghĩa trong SGK có còn đúng đối với học sinh lớp 10 ko ?

 

[E. Galois]

Việc hai phương trình khác bậc tương đương với nhau có sao đâu nhỉ? Chẳng hạn, trong ví dụ của bạn:

$$x^{3}+2x^{2}-2x-12=0\Leftrightarrow (x-2)(x^{2}+4x+6)=0 \Leftrightarrow x=2$$

Một phương trình bậc 3 vừa tương đương với 1 phương trình bậc nhất đấy thôi.

 

Định nghĩa chỉ quan tâm đến tập nghiệm của chúng trùng nhau là hợp lý.

Ta cũng có thể dùng các phép biến đổi tương đương để chứng minh hai phương trình (1 bậc ba, 1 bậc 4) tương đương.

[Nxb]

 Định nghĩa 2 phương trình tương đương có trước. Bạn có định nghĩa 2 phương trình tương đương khác hay sao mà bạn bảo hai phương trình trong ví dụ không tương đương.

[Vito Khang Scaletta]

Việc hai phương trình khác bậc tương đương với nhau có sao đâu nhỉ? Chẳng hạn, trong ví dụ của bạn:

$$x^{3}+2x^{2}-2x-12=0\Leftrightarrow (x-2)(x^{2}+4x+6)=0 \Leftrightarrow x=2$$

Một phương trình bậc 3 vừa tương đương với 1 phương trình bậc nhất đấy thôi.

 

Định nghĩa chỉ quan tâm đến tập nghiệm của chúng trùng nhau là hợp lý.

Ta cũng có thể dùng các phép biến đổi tương đương để chứng minh hai phương trình (1 bậc ba, 1 bậc 4) tương đương.

Trong ví dụ của mình thì phương trình bậc 3 tương đương tới một bậc nhất nhân với 1 phương trình bậc 2 mà.

 

Còn theo mình là 2 phương trình trên ví dụ không tương đương vì cái mình đang nói đến là đang xét trên trường số thực. Còn tập nghiệm bao hàm cả trường số phức. 2 phương trình trong ví dụ có nghiệm phức khác nhau nên tâp nghiệm của nó khác nhau chứ không giống nhau.

[E. Galois]

Trong ví dụ của mình thì phương trình bậc 3 tương đương tới một bậc nhất nhân với 1 phương trình bậc 2 mà.

 

Còn theo mình là 2 phương trình trên ví dụ không tương đương vì cái mình đang nói đến là đang xét trên trường số thực. Còn tập nghiệm bao hàm cả trường số phức. 2 phương trình trong ví dụ có nghiệm phức khác nhau nên tâp nghiệm của nó khác nhau chứ không giống nhau.

Dù là nói trong trường số nào thì bậc của phương trình đâu có liên quan gì đến việc chúng tương đương với nhau hay không. Có những phương trình ta còn không thể xét được bậc của chúng nữa là.

[Vito Khang Scaletta]

Dù là nói trong trường số nào thì bậc của phương trình đâu có liên quan gì đến việc chúng tương đương với nhau hay không. Có những phương trình ta còn không thể xét được bậc của chúng nữa là.

Oh... vậy mình còn 1 ví dụ nữa.

Là 2 phương trình sau: $\begin{matrix} x^{2}+2x+2=0 \\ x^{2}+2x+4=0 \end{matrix}$

2 phương trình này đều có tập nghiệm thực $\left \{ S={\varnothing } \right \}$, vậy chúng có tương đương với nhau không ? và ta có thể sử dụng kí hiệu "$\Leftrightarrow$" để viết rằng:

$x^{2}+2x+2=0$

$\Leftrightarrow x^{2}+2x+4=0$

Nếu viết như thế là đúng thì có nghĩa ta đã thực sai quy tắc cộng 2 vế cho cùng 1 số $f(x)=g(x) \Leftrightarrow f(x)+h(x)=g(x)+h(x)$ vởi về ta cộng $2$ vào $VT$ của phương trình trên nhưng lại không cộng vào $VP$.

 

Đây chỉ là thắc mắc thôi ạ, em không có ý tranh luận

[E. Galois]

Oh... vậy mình còn 1 ví dụ nữa.

Là 2 phương trình sau: $\begin{matrix} x^{2}+2x+2=0 \\ x^{2}+2x+4=0 \end{matrix}$

2 phương trình này đều có tập nghiệm thực $\left \{ S={\varnothing } \right \}$, vậy chúng có tương đương với nhau không ? và ta có thể sử dụng kí hiệu "$\Leftrightarrow$" để viết rằng:

$x^{2}+2x+2=0$

$\Leftrightarrow x^{2}+2x+4=0$

Nếu viết như thế là đúng thì có nghĩa ta đã thực sai quy tắc cộng 2 vế cho cùng 1 số $f(x)=g(x) \Leftrightarrow f(x)+h(x)=g(x)+h(x)$ vởi về ta cộng $2$ vào $VT$ của phương trình trên nhưng lại không cộng vào $VP$.

 

Đây chỉ là thắc mắc thôi ạ, em không có ý tranh luận

Theo định nghĩa thì chúng cũng tương đương.

 

Nhưng bạn không thể chứng minh chúng tương đương như vậy được vì bạn không cộng cả 2 vế với 2 mà bạn chỉ cộng cả có mỗi vế trái của PT1 với 2 thôi. Nên đó không phải là phép biến đổi tương đương.

 

Muốn chứng minh:

$$x^{2}+2x+2=0\Leftrightarrow x^{2}+2x+4=0$$

Ta có thể tìm tập nghiệm của 2 phương trình hoặc cần sử dụng mệnh đề kéo theo.

 

Ta biết rằng: $P \Rightarrow Q$ chỉ SAI khi P đúng, Q sai. Tức là nếu P sai thì mệnh đề $P \Rightarrow Q$ luôn đúng. Dễ thấy:

$$P: x^{2}+2x+2=0; Q: x^{2}+2x+4=0$$

đều là các mệnh đề sai. Do đó: $P\Leftrightarrow Q$.

 

Nói chung, người ta thường không đề cập đến việc hai PT vô nghiệm có tương đương không, vì vô nghiệm rồi thì còn quan tâm làm gì. Giống như chẳng ai quan tâm xem trứng của voi châu Á và trứng của voi châu Phi có to bằng nhau không.

[1110004]

 

Theo định nghĩa thì chúng cũng tương đương.

 

Nhưng bạn không thể chứng minh chúng tương đương như vậy được vì bạn không cộng cả 2 vế với 2 mà bạn chỉ cộng cả có mỗi vế trái của PT1 với 2 thôi. Nên đó không phải là phép biến đổi tương đương.

 

Muốn chứng minh:

$$x^{2}+2x+2=0\Leftrightarrow x^{2}+2x+4=0$$

Ta có thể tìm tập nghiệm của 2 phương trình hoặc cần sử dụng mệnh đề kéo theo.

 

Ta biết rằng: $P \Rightarrow Q$ chỉ SAI khi P đúng, Q sai. Tức là nếu P sai thì mệnh đề $P \Rightarrow Q$ luôn đúng. Dễ thấy:

$$P: x^{2}+2x+2=0; Q: x^{2}+2x+4=0$$

đều là các mệnh đề sai. Do đó: $P\Leftrightarrow Q$.

 

Nói chung, người ta thường không đề cập đến việc hai PT vô nghiệm có tương đương không, vì vô nghiệm rồi thì còn quan tâm làm gì. Giống như chẳng ai quan tâm xem trứng của voi châu Á và trứng của voi châu Phi có to bằng nhau không.

Em nghĩ bạn ấy muốn nói tính tương đương của hai phương trình trên một trường số cụ thể nào đó!

 

Lớp 10 chưa học số phức nên định nghĩa như vậy thì các phương trình của bạn ấy đưa ra là tương đương (trên trường thực) nhau hêt. Nhưng nếu học số phức xong xem lại định nghĩ hai phương trình tương đương thì các phương trình trên không tương đương (trên trường phức) rồi. Em nghĩ lớp 10 chắc không thầy cô nào đem cái này nói đâu!

[Vito Khang Scaletta]

Theo định nghĩa thì chúng cũng tương đương.

 

Nhưng bạn không thể chứng minh chúng tương đương như vậy được vì bạn không cộng cả 2 vế với 2 mà bạn chỉ cộng cả có mỗi vế trái của PT1 với 2 thôi. Nên đó không phải là phép biến đổi tương đương.

 

Muốn chứng minh:

$$x^{2}+2x+2=0\Leftrightarrow x^{2}+2x+4=0$$

Ta có thể tìm tập nghiệm của 2 phương trình hoặc cần sử dụng mệnh đề kéo theo.

 

Ta biết rằng: $P \Rightarrow Q$ chỉ SAI khi P đúng, Q sai. Tức là nếu P sai thì mệnh đề $P \Rightarrow Q$ luôn đúng. Dễ thấy:

$$P: x^{2}+2x+2=0; Q: x^{2}+2x+4=0$$

đều là các mệnh đề sai. Do đó: $P\Leftrightarrow Q$.

 

Nói chung, người ta thường không đề cập đến việc hai PT vô nghiệm có tương đương không, vì vô nghiệm rồi thì còn quan tâm làm gì. Giống như chẳng ai quan tâm xem trứng của voi châu Á và trứng của voi châu Phi có to bằng nhau không.

Cám ơn anh Thêm 1 kiến thức mới :v

 

 

 

Em nghĩ bạn ấy muốn nói tính tương đương của hai phương trình trên một trường số cụ thể nào đó!

 

Lớp 10 chưa học số phức nên định nghĩa như vậy thì các phương trình của bạn ấy đưa ra là tương đương (trên trường thực) nhau hêt. Nhưng nếu học số phức xong xem lại định nghĩ hai phương trình tương đương thì các phương trình trên không tương đương (trên trường phức) rồi. Em nghĩ lớp 10 chắc không thầy cô nào đem cái này nói đâu!

 

Ý mình là ý của bạn này nè Giả thiết của mình là xét trên trường số thực khác với xét trên trường số phức.

[huykinhcan99]

Theo ý em/mình thì liệu các phương trình được xét là tương đương hay không tương đương tùy thuộc vào miền xác định mà ta xét. Nó cũng giống như tiên đề $Euclide$ đúng trong hình học $Euclide$, không đúng trong hình học $Lobachevsky$...