Chủ đề này có 4 trả lời

[nangbuon]

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A.CMR: $AB+\sqrt{3}AC\leq 2BC$

Bài 2: Cho tam giác ABC ngoại tiếp $(O;R)$.Kẻ các tiếp tuyến của $(O)$ song song 3 cạnh tam giác ABC.Các tiếp tuyến này tạo với các cạnh của tam giác ABC 3 tam giác nhỏ có diện tích lần lượt là $S_{1},S_{2},S_{3}$.Gọi $S$ là diện tích tam giác ABC.Tìm GTNN của biểu thức: $\frac{S_{1}+S_{2}+S_{3}}{S}$

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có $AB=AC=a$.Trung tuyến AD.M là trung điểm di động trên AD.Gọi N,P lần lượt là hình chiếu của M trên AB,AC.P,D cắt tia Bx vuông góc AB ở E,H là hình chiếu của N lên PD.

a) CM: B,M,H thẳng hàng

b) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.Tính GTLN đó theo a.

c) CMR: Khi M di động đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định suy ra vị trí của M để HN lớn nhất

Bài 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn.M là 1 điểm di động trên AB.D,E tương ứng là hình chiếu của M trên BC,CA.Xác định vị trí của M sao cho DE có độ dài lớn nhất.

Bài 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp $(O)$.M là điểm di động trên $(O)$.Gọi N,K tương ứng là hình chiếu của M lên các đường thẳng AB,AC.Xác định vị trí của M sao cho NK có độ dài lớn nhất.

Bài 6: Cho $(O)$ dây AB cố định. Điểm M di chuyển trên cung nhỏ AB.Gọi E,F thứ tự là hình chiếu của M trên các tiếp tuyến tại A,B của $(O)$.Tìm vị trí của M để diện tích tam giác MEF đạt GTLN.

[stupidgirl]

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A.CMR: $AB+\sqrt{3}AC\leq 2BC$

 

bđt cần cm <=> $(AB+\sqrt{3}AC)^{2}\leq 4(AB^{2}+AC^{2})$ sau đó biến đổi tương đương 

[Chung Anh]

 

Bài 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn.M là 1 điểm di động trên AB.D,E tương ứng là hình chiếu của M trên BC,CA.Xác định vị trí của M sao cho DE có độ dài lớn nhất.

 

Lấy I,K đối xứng với M qua AB,AC thì ta có $IK=2DE$

Tam giác AIK cân tại A có góc IAK bằng 2 lần góc A không đổi nên IK lớn nhất <=> AI lớn nhất

Mà $IK=2.DE;AI=AM$ nên DE lớn nhất <=> AM lớn nhất <=>AM trùng với cạnh lớn hơn trong AB và AC

Vậy M trùng với B hoặc C thì DE lớn nhất (khi AC lớn nhất thì M trùng C;còn AB lớn nhất thì M trùng B)

[stupidgirl]

 

Bài 2: Cho tam giác ABC ngoại tiếp $(O;R)$.Kẻ các tiếp tuyến của $(O)$ song song 3 cạnh tam giác ABC.Các tiếp tuyến này tạo với các cạnh của tam giác ABC 3 tam giác nhỏ có diện tích lần lượt là $S_{1},S_{2},S_{3}$.Gọi $S$ là diện tích tam giác ABC.Tìm GTNN của biểu thức: $\frac{S_{1}+S_{2}+S_{3}}{S}$

 

gọi các tam giác nhỏ là S1=AMN , S2=BHK , S3=CPQ ; gọi r1 , r2 , r3 là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác trên .

ta có : $2S1=(AM+AN+MN).r1$ => $\frac{2S1}{r1}=AM+AN+MN$

           $2S2=(BH+BK+HK).r2$ => $\frac{2S2}{r2}=BK+BH+HK$

           $2S3=(CP+CQ+PQ).r3 => \frac{2S3}{r3}=CP+CQ+PQ$

=> $\frac{2S1}{r1}+\frac{2S2}{r2}+\frac{2S3}{r3}=AM+AN+MN+BH+BK+HK+CP+CQ+QP=AB+BC+CA$

mà $\frac{S}{r}=AB+BC+CA$

=> $\frac{S}{r}=\frac{S1}{r1}+\frac{S2}{r2}+\frac{S3}{r3}$

=> $S=\frac{S1}{\frac{r1}{r}}+\frac{S2}{\frac{r2}{r}}+\frac{S3}{\frac{r3}{r}}$

=> $S=\frac{S1}{\sqrt{\frac{S1}{S}}}+\frac{S2}{\sqrt{\frac{S2}{S}}}+\frac{S3}{\sqrt{\frac{S3}{S}}}$

<=> $\sqrt{S}=\sqrt{S1}+\sqrt{S2}+\sqrt{S3} \leq \sqrt{3(S1+S2+S3)}$

<=> $\frac{S1+S2+S3}{S}\geq \frac{1}{3}$

[Chung Anh]

 

Bài 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp $(O)$.M là điểm di động trên $(O)$.Gọi N,K tương ứng là hình chiếu của M lên các đường thẳng AB,AC.Xác định vị trí của M sao cho NK có độ dài lớn nhất.

 

Mình nghĩ bài này thiếu điều kiện M di chuyển trên cung BC ko chứa A

Nếu có điều kiện này thì NK lớn nhất khi AM là đường kính(bằng cách lấy điểm đối xứng với M qua AB,AC như bài trước)