Chủ đề này có 2 trả lời

[dinhnguyenhoangkim]

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn $x+y+z= 1$.

Chứng minh $\sum \frac{x^2+1}{y^2+1}\leq \frac{7}{2}$

[Lee LOng]

Ta có: $x+y+z=1 \Rightarrow 0\leq x,y,z\leq 1$

Ta có:$ \sum \frac{x^{2}+1}{y^{2}+1}\leq \frac{7}{2} (*)$

Biến đổi tương đương có:

$(*)\Leftrightarrow 2x^{4}z^{2}+2y^{4}x^{2}+2z^{4}y^{2}+2\sum x^{4}\leq 7x^{2}y^{2}z^{2}+3\sum x^{2}y^{2}+\sum x^{2}+1$

$\Leftrightarrow 2x^{4}z^{2}+2y^{4}x^{2}+2z^{4}y^{2}+2\sum x^{4}\leq 7x^{2}y^{2}z^{2}+3\sum x^{2}y^{2}+2\sum x^{2}+2\sum xy \leq 0$

$\Leftrightarrow 2xz(x^{3}z-1)+2xy(y^{3}x-1)+2yz(z^{3}y-1)+2\sum x^{2}(x^{2}-1)-\sum x^{2}y^{2}-7x^{2}y^{2}z^{2}\leq 0$ (Đúng)

Dấu $(=) \Leftrightarrow x=y=0, z=1$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lee LOng: 22-02-2015 - 13:29

[hoanglong2k]

...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 20-01-2016 - 12:52