Giải phương trình nghiệm nguyên
$a)x^3+2y^3=4z^3$
$b)x^2+y^2=6(z^2+t^2)$
Giải phương trình nghiệm nguyên
$a)x^3+2y^3=4z^3$
$b)x^2+y^2=6(z^2+t^2)$
a) $x^3 + 2y^3 = 4z^3$
Bài này sử dụng pp xuống thang (hay còn có tên gọi khác là lùi vô hạn) như sau:
Theo đề bài ra ta có : $x^3 \vdots 2$ mà 2 là số nguyên tố nên $x \vdots 2$. Đặt $x = 2x_1 (x_1 \in Z)$
Khi đó có: $8x_1^3 + 2y^3 = 4z^3 \leftrightarrow 4x_1^3 + y^3 = 2z^3 \rightarrow y^3 \vdots 2 \rightarrow y \vdots 2$. Đặt $y = 2y_1 (y_1 \in Z)$
Khi đó lại có: $4x_1^3 + 8y_1^3 = 2z^3 \leftrightarrow 2x_1^3 + 4y_1^3 = z^3 \rightarrow z^3 \vdots 2 \rightarrow z \vdots 2 \rightarrow z = 2z_1 (z_1 \in Z)$
Khi đó có : $2x_1^3 + 4y_1^3 = 8z_1^3 \rightarrow x_1^3 + 2y_1^3 = 4z_1^3$
Lập luận tương tự có $x \vdots 2^k ; y \vdots 2^k; z \vdots 2^k $ với mọi k tự nhiên
điều này chỉ xảy ra khi x = y = z = 0
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 200dong: 22-02-2015 - 14:06
Câu b tương tự câu a:
Ta có:$ x^{2}+y^{2}=6(z^{2}+t^{2})\Rightarrow x^{2}+y^{2}\vdots 3\Rightarrow x,y\vdots 3\Rightarrow t^{2}+z^{2}\vdots 3\Rightarrow t,z\vdots 3$
$\Rightarrow x=y=z=t=0$
Cũng dùng lùi vô hạn nhá!
Thấy $VP \vdots 3 \rightarrow VT \vdots 3$
Có tính chất "Nếu p là số nguyên tố dạng $4k + 3 (k \in N)$ thì $a^2 + b^2 \vdots p \leftrightarrow a \vdots p$ và $b \vdots p$"
Áp dụng tc trên có $x^2 + y^2 \vdots 3 \rightarrow x \vdots 3; y \vdots 3$. Như vậy đặt $x = 3x_1; y = 3y_1$ với $x_1; y_1 \in Z$ nên:
$9x_1^2 + 9y_1^2 = 6(z^2 + t^2) \leftrightarrow 3(x_1^2 + y_1^2) = 2(z^2 + t^2) \rightarrow 2(z^2 + t^2) \vdots 3$ mà (2; 3) = 1 nên $z^2 + t^2 \vdots 3 \rightarrow z = 3z_1; t = 3t_1 (z_1; t_1 \in Z)$
Khi đó có: $x_1^2 + y_1^2 = 6(z_1^2 + t_1^2)$. Lập luận tương tự có: $x;y;z;t \vdots 3^k ( k \in N)$ điều này xảy ra khi x = y = z = t = 0
Cám ơn các bạn
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh