Chủ đề này có 3 trả lời

[halosix]

a,b,c>0 và a+b+c=9. Chứng minh $\sum \frac{a^{3}+b^{3}}{ab+9}\geq 9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 22-02-2015 - 23:26

[GeminiKid]

a,b,c>0 và a+b+c=9. Cmr $\frac{a^{3}+b^{3}}{ab+9}\geqslant a+b-3$

c ở chỗ nào đấy bạn ơi

[halosix]

Thức ra bài đầy đủ là Cmr $\frac{a^{3}+b^{3}}{ab+9}+\frac{b^{3}+c^{3}}{bc+9}+\frac{a^{3}+c^{3}}{ac+9}\geqslant 9$. Còn bài trên chỉ là hướng dẫn thôi.(giả thiết như nhau0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halosix: 22-02-2015 - 21:53

[nangcuong8e]

Ta cần chứng minh $\frac{a^3 +b^3}{ab +9} \ge a +b -3$. Thật vậy, ta có;
$\frac{a^3 +b^3}{ab +9} \ge \frac{4(a^3 +b^3)}{(a +b)^2 +36} \ge \frac{(a+b)^3}{(a+b)^2 +36}$
 XÉT BĐT $\frac{(a+b)^3}{(a+b)^2 +36} \ge a +b -3 \Leftrightarrow  (a+b)^3 \ge (a +b -3)((a+b)^2 +36) \Leftrightarrow  (a +b -6)^2 \ge 0$ (luôn đúng với mọi a,b)
$\Rightarrow \frac{a^3 +b^3}{ab +9} \ge a +b -3$
Hoàn toàn tương tự đối với 2 phân thức còn lại rồi cộng theo vế, ta có BĐT với giả thiết là $a +b +c =9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nangcuong8e: 22-02-2015 - 23:19