Chủ đề này có 1 trả lời

[bonna]

Cho $a,b,c> 0;a+b+c\geq abc.$

a, CMR:$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq abc$

b, CMR:$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \sqrt{3}abc$

[viet nam in my heart]

b) Điều kiện viết thành $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq 1$

Đặt $a=\sqrt{\frac{y}{xz}},b=\sqrt{\frac{z}{xy}},c=\sqrt{\frac{x}{yz}}$(x,y,z>0). Khi đó ta có: $x+y+z\geq 1$

Ta cần chứng minh: $a^2+b^2+c^2\geq \sqrt{3}abc\Leftrightarrow \frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow y\sqrt{\frac{y}{xz}}+x\sqrt{\frac{x}{yz}}+z\sqrt{\frac{z}{xy}}\geq \sqrt{3}$

Đặt A = $y\sqrt{\frac{y}{xz}}+x\sqrt{\frac{x}{yz}}+z\sqrt{\frac{z}{xy}}$

Ta có: $A^2=\sum \frac{y^3}{xz}+2\sum \frac{xy}{z}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: $\frac{y^3}{xz}+x+z\geq 3y$

Chứng minh tương tự và cộng theo vế ta có:$\sum \frac{y^3}{xz}+2(x+y+z)\geq 3(x+y+z)\Leftrightarrow \sum \frac{y^3}{xz}\geq (x+y+z)\geq 1$(1)

Lại áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\geq 2y$

Chứng minh tương tự và cộng theo vế ta có:$2\sum \frac{xy}{z}\geq 2(x+y+z)\geq 2$(2)

Từ (1) và (2) ta có: $A^2\geq 3\Leftrightarrow A\geq \sqrt{3}$

Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu"=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}$