Chủ đề này có 2 trả lời

[HatNangNgoaiThem]

Bài 1: Cho 3 số x, y, z thỏa mãn $x\geq y;y\geq z$; xyz=6; $\frac{6}{x}\leq y\leq \frac{2}{z}$ Chứng minh rằng: $\frac{9}{4x^{2}}+\frac{4}{3y^{2}}+\frac{5}{12z^{2}}\geq 1$

Bài 2: Cho a, b,c>0 và a+b+c=1. Tìm Min của P=$\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{b}{b^{2}+1}+\frac{c}{c^{2}+1}+abc$

Bài 3: Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+\sqrt{3xyz\left ( x+y+z \right )}\geq 2\left ( xy+yz+zx \right )$

Bài 4: Cho 3 số x, y, z thỏa mãn: $2\geq x, y, z\geq 0$ và x+y+z=3. Tìm Min, Max của biểu thức: T= $x^{4}+y^{4}+z^{4}+12\left ( 1-x \right )\left ( 1-y \right )\left ( 1-z \right )$

Bài 5: 5.1: Cho 2 số a, b dương: Tìm Min của: P=$\frac{a+b}{\sqrt{a\left ( 4a+5b \right )}+\sqrt{b\left ( 4b+5a \right )}}$

5.2: Cho ba số dương a, b, c. CMR: $\frac{a^{2}}{\sqrt{3a^{2}+8b^{2}+14ab}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{3b^{2}+8c^{2}+14bc}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{3c^{2}+8a^{2}+14ca}}\geq \frac{a+b+c}{5}$

Bài 6: Cho a, b, c>1 và $\frac{1}{a^{2}-1}+\frac{1}{b^{2}-1}+\frac{1}{c^{2}-1}= 1$ CMR: $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\leq 1$

Bài 7: Cho a, b,c>0 thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}= 1$ CMR: $a^{2}\sqrt{1-bc}+b^{2}\sqrt{1-ca}+c^{2}\sqrt{1-ab}\geq \sqrt{\frac{2}{3}}$

Bài 8: Cho các số thực dương a, b, c. CMR: $\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^{2}+bc}}+\sqrt{\frac{b(c+a)}{b^{2}+ca}}+\sqrt{\frac{c(a+b)}{c^{2}+ab}}\leq \sqrt{\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{a}} +\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right )}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 24-02-2015 - 02:48

[Chung Anh]

 

Bài 5: 5.1: Cho 2 số a, b dương: Tìm Min của: P=$\frac{a+b}{\sqrt{a\left ( 4a+5b \right )}+\sqrt{b\left ( 4b+5a \right )}}$

5.2: Cho ba số dương a, b, c. CMR: $\frac{a^{2}}{\sqrt{3a^{2}+8b^{2}+14ab}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{3b^{2}+8c^{2}+14bc}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{3c^{2}+8a^{2}+14ca}}\geq \frac{a+b+c}{5}$

 

5.1 Ta có $P=\frac{3(a+b)}{\sqrt{9a(4a+5b)}+\sqrt{9b(4b+5a)}}\geq \frac{3(a+b)}{\sqrt{\frac{(9a+4a+5b)^2}{4}}+\sqrt{\frac{(9b+4b+5a)^2}{4}}}=\frac{3(a+b)}{9(a+b)}=\frac{1}{3} $

Dấu bằng xảy ra <=> $a=b$

5.2 Ta có $\sum \frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}=\sum \frac{a^2}{\sqrt{(3a+2b)(a+4b)}}\geq \sum \frac{a^2}{\frac{3a+2b+a+4b}{2}}=2.\sum \frac{a^2}{4a+6b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{10(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{5} $

Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c$

[Dinh Xuan Hung]

 

Bài 2: Cho a, b,c>0 và a+b+c=1. Tìm MAX của P=$\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{b}{b^{2}+1}+\frac{c}{c^{2}+1}+abc$

 

$abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}= \frac{1}{27}$

$\frac{a}{a^2+1}\leq \frac{3}{10}-\frac{6}{25}(3a-1)$

Cái này bạn tự xét hiệu nhé 

$\Rightarrow \sum \frac{a}{a^2+1}\leq \frac{9}{10}-\frac{6}{25}[3(a+b+c)-3]=\frac{9}{10}$$\Rightarrow \sum \frac{a}{a^2+1}\leq \frac{9}{10}-\frac{6}{25}[3(a+b+c)-3]=\frac{9}{10}$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{a^2+1}+abc\leq \frac{9}{10}+\frac{1}{27}=\frac{253}{270}$

DBXR khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

ĐỀ PHẢI LÀ TÌM MAX

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 24-02-2015 - 10:24