1 reply to this topic

[tap lam toan]

Tìm tất cả các số nguyên dương $n = \overline{ab}$ sao cho với mỗi số nguyên dương $k$ thì $ n\mid k^{a}-k^{b} $

Edited by tap lam toan, 24-02-2015 - 17:05.

[shinichigl]

Ta có $k^{a}-k^{b}\vdots n,\forall k$ nên $k^{\left | a-b \right |}-1\vdots n,\forall k$.Từ đó ta cũng có $\left (2k  \right )^{\left | a-b \right |}-1\vdots n,\forall k$.

Suy ra $2^{\left | a-b \right |}-1\vdots n$. Do $0\leq a,b\leq 9$ nên $0\leq \left | a-b \right |\leq 9$.

Từ đó lần lượt thay các giá trị của $\left | a-b \right |$ ta sẽ tìm được nghiệm.

Vậy các nghiệm thõa mãn đề bài là $15$ và $\overline{aa}$.