Chủ đề này có 5 trả lời

[phongtoanhoc2000]

1))    $\frac{1001x^{4}+x^{4}\sqrt{2x^{2}+2002}+4x^{2}}{999}=2002$

 

 

2))    $x^{2}-2(x+1)\sqrt{x^{2}-1}-3x^{2}+6x-1=0$

 

 

3))    $4x^{4}+x^{2}+3x+4=3.\sqrt[3]{16x^{3}+2x}$

 

 

4))    $\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 25-02-2015 - 05:18

[Nguyen Minh Hai]

1))    $\frac{1001x^{4}+x^{4}\sqrt{2x^{2}+2002}+4x^{2}}{999}=2002$

 

2))    $x^{2}-2(x+1)\sqrt{x^{2}-1}-3x^{2}+6x-1=0$

 

 

3))    $4x^{4}+x^{2}+3x+4=3.\sqrt[3]{16x^{3}+2x}$

 

 

4))    $\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2$

1) $\Leftrightarrow 1001x^4+x^4\sqrt{2x^2+2002}+4x^2=2002.999$
$\Leftrightarrow x^4(1001+\sqrt{2x^2+2002})+2[(2x^2+2002)-1001^2]=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{2x^2+2002}+1001)[x^4+2(\sqrt{2x^2+2002}-1001)]=0$
$\Rightarrow x^4+2(\sqrt{2x^2+2002}-1001)=0$
$\Leftrightarrow x^4+2\sqrt{2x^2+2002}=2002$
$\Leftrightarrow (x^4+2x^2+1)-(2x^2+2002-2\sqrt{2x^2+2002}+1)=0$
$\Leftrightarrow (x^2+1)^2-(\sqrt{2x^2-1})^2=0$
............. DỄ RỒI.........

 

2) ĐKXĐ: $x\leq -1, x \geq 1$

PT $\Leftrightarrow (x^2-1)-2(x+1)\sqrt{x^2-1}+(x^2+2x+1)=4x^2-4x+1$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^2-1}-x-1)^2=(2x-1)^2$

............Đến đây dễ rồi...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 25-02-2015 - 01:13

[Ngoc Hung]

4))    $\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2$

ĐKXĐ: $0\leq x\leq 1$

Phương trình tương đương $2-\sqrt{x}=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}$.

Áp dụng Bunhia ta có $\left ( \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} \right )^{2}\leq (1+1)(1-x+1+x)=4\Rightarrow \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\leq 2\Rightarrow 2-\sqrt{x}\leqslant 2\Rightarrow -\sqrt{x}\leq 0\Rightarrow x=0$. 

[Nguyen Minh Hai]

ĐKXĐ: $0\leq x\leq 1$

Phương trình tương đương $2-\sqrt{x}=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}$.

Áp dụng Bunhia ta có $\left ( \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} \right )^{2}\leq (1+1)(1-x+1+x)=4\Rightarrow \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\leq 2\Rightarrow 2-\sqrt{x}\leqslant 2\Rightarrow -\sqrt{x}\leq 0\Rightarrow x=0$. 

$ -\sqrt{x} \leq 0$ luôn đúng mà. 

[GeminiKid]

 

4))    $\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2$

$ĐKXĐ:0\leq x\leq 1$

$PT\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{1-x}-1+\sqrt{1+x}-1=0\Leftrightarrow \sqrt{x}+\frac{x}{\sqrt{1-x}+1}+\frac{x}{\sqrt{1+x}+1}=0$

$\Leftrightarrow x\left ( \frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{1-x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x+1}+1} \right )= 0$

$Có 0\leq x\leq 1\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}\geq 1,\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\leq 1\Rightarrow ....$

=>x=0

[NND]

3))    $4x^{4}+x^{2}+3x+4=3.\sqrt[3]{16x^{3}+2x}$

Ta có $x^{2}+3x+4>0 \forall x$ $\Rightarrow x^{4}+x^{2}+3x+4>0 \forall x$ nên ta có $3.\sqrt[3]{16x^{3}+12x}>0\Leftrightarrow 16x^{3}+12x>0\Leftrightarrow x>0$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

 $3\sqrt[3]{16x^{3}+12x}=3\sqrt[3]{2.2x.(4x^{2}+3)}\leq 2+2+x(4x^{2}+3)=4x^{3} +3x+4$

$\Rightarrow 4x^{4}+x^{2}+3x+4 \leqslant 4x^{3}+3x+4 \Leftrightarrow 4x^{4}-4x^{3}+x^{2}=x^{2}(2x-1)^{2}\leq 0$

Dấu xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{1}{2}$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{1}{2}$