Cho tam giác $ABC$ với tâm nội tiếp $I$ và tâm ngoại tiếp $O$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác. $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại D. Giả sử rằng $HD//AO$. Chứng minh rằng $IO//BC$
$IO//BC$
#1
Đã gửi 25-02-2015 - 23:21
#2
Đã gửi 26-02-2015 - 17:49
Cho tam giác $ABC$ với tâm nội tiếp $I$ và tâm ngoại tiếp $O$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác. $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại D. Giả sử rằng $HD//AO$. Chứng minh rằng $IO//BC$
Ta có bổ đề quen thuộc sau: Cho tam giác $ABC$, $I$ là tâm nội tiếp tam giác. $D$ là tiếp điểm của $BC$ với $(I)$. $DE$ là đường kính $(I)$. Gọi $F$ là giao điểm $AE$ với $BC$. Chứng minh rằng $BD=CF$
Chứng minh bổ đề:
Xét phép vị tự $V_A^{ \frac{r}{r_a}}: I\rightarrow I_A$ và $E\rightarrow E'$
Khi đó $A,D,E'$ thẳng hàng và $E'$ là tiếp điểm đường tròn bàng tiếp góc $A$ với $BC$
Suy ra $F,E'$ trùng nhau
Khi đó $CF+AC=p$ mặt khác $BD+AC=p$ suy ra $BD=CF$
suy ra đpcm
Trở lại bài toán:
Gọi $O'$ là điểm đối xứng với $O$ qua $BC$
Bài toán quen thuộc suy ra $OO'=AH$ suy ra tứ giác $AOO'H$ là hình bình hành
suy ra $O'H\parallel AO$ suy ra $D \in O'H$
Gọi $J$ là giao điểm $AO$ với $BC$
Gọi $M$ là trung điểm $BC$
suy ra $M$ là trung điểm $OO'$
Áp dụng Thales suy ra $M$ là trung điểm $DJ$
Dựng $DE$ là đường kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$
Gọi $J'$ là giao điểm $AE$ với $BC$
Áp dụng bổ đề trên dễ thấy $J'$ phải trùng với $J$
suy ra $A,O,E$ thẳng hàng
suy ra $EDO'O$ là hình bình hành
$I$ là trung điểm $ED$, $M$ là trung điểm $OO'$
suy ra $ID=OM$ mà $ID,OM$ cùng vuông góc với $BC$ suy ra tứ giác $IOMD$ là hình chữ nhật suy ra $OI\perallel MD$
suy ra đpcm
- nhungvienkimcuong yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh