Chủ đề này có 1 trả lời

[Bui Ba Anh]

Cho tam giác $ABC$ với tâm nội tiếp $I$ và tâm ngoại tiếp $O$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác. $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại D. Giả sử rằng $HD//AO$. Chứng minh rằng $IO//BC$

[ChiLanA0K48]

Cho tam giác $ABC$ với tâm nội tiếp $I$ và tâm ngoại tiếp $O$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác. $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại D. Giả sử rằng $HD//AO$. Chứng minh rằng $IO//BC$

Ta có bổ đề quen thuộc sau: Cho tam giác $ABC$, $I$ là tâm nội tiếp tam giác. $D$ là tiếp điểm của $BC$ với $(I)$. $DE$ là đường kính $(I)$. Gọi $F$ là giao điểm $AE$ với $BC$. Chứng minh rằng $BD=CF$

 

Chứng minh bổ đề:

Xét phép vị tự $V_A^{ \frac{r}{r_a}}: I\rightarrow I_A$ và $E\rightarrow E'$

Khi đó $A,D,E'$ thẳng hàng và $E'$ là tiếp điểm đường tròn bàng tiếp góc $A$ với $BC$

Suy ra $F,E'$ trùng nhau

Khi đó $CF+AC=p$ mặt khác $BD+AC=p$ suy ra $BD=CF$

suy ra đpcm

 

Trở lại bài toán:

 

Gọi $O'$ là điểm đối xứng với $O$ qua $BC$

Bài toán quen thuộc suy ra $OO'=AH$ suy ra tứ giác $AOO'H$ là hình bình hành

suy ra $O'H\parallel AO$ suy ra $D \in O'H$

Gọi $J$ là giao điểm $AO$ với $BC$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

suy ra $M$ là trung điểm $OO'$

Áp dụng Thales suy ra $M$ là trung điểm $DJ$

Dựng $DE$ là đường kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

Gọi $J'$ là giao điểm $AE$ với $BC$

Áp dụng bổ đề trên dễ thấy $J'$ phải trùng với $J$

suy ra $A,O,E$ thẳng hàng

suy ra $EDO'O$ là hình bình hành

$I$ là trung điểm $ED$, $M$ là trung điểm $OO'$

suy ra $ID=OM$ mà $ID,OM$ cùng vuông góc với $BC$ suy ra tứ giác $IOMD$ là hình chữ nhật suy ra $OI\perallel MD$

suy ra đpcm