Chủ đề này có 2 trả lời

[Love Math forever]

Bài 1: Cho $x\geq 2,x\epsilon \mathbb{R}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 

$A=\frac{2x^{2}+6\sqrt{(x^{2}+2)(x-2)}+1}{x^{2}+3x-5}$

 

Bài 2: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy+y^{2}=3& & \\ y^{2}+yz+z^{2}=16& & \end{matrix}\right.$ .

Chứng minh rằng: $xy+yz+zx\leq 8$ .

 

Bài 3: Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi. Tìm GTNN của biểu thức: 

$P=\frac{x^{2}y}{z^{3}}+\frac{y^{2}z}{x^{3}}+\frac{z^{2}x}{y^{3}}+\frac{4xyz}{xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}}$ .

[viet nam in my heart]

Câu 1:Vì $x\geq 2$.Ta có:$A\leq 3 \Leftrightarrow x^2+9x-16\geq 6\sqrt{(x^2+2)(x-2)}\Leftrightarrow (x-5)^2(x-4)^2\geq 0$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=4 hoặc x=5

[lahantaithe99]

 

Bài 2: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy+y^{2}=3& & \\ y^{2}+yz+z^{2}=16& & \end{matrix}\right.$ .

Chứng minh rằng: $xy+yz+zx\leq 8$ .

 

Bài 3: Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi. Tìm GTNN của biểu thức: 

$P=\frac{x^{2}y}{z^{3}}+\frac{y^{2}z}{x^{3}}+\frac{z^{2}x}{y^{3}}+\frac{4xyz}{xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}}$ .

 

Bài 2: Bạn xem tại

 

http://diendantoanho...bccaleqslant-8/

 

Bài 3:

 

Đặt $(\frac{x}{z},\frac{y}{x},\frac{z}{y})=(a,b,c)$ suy ra $abc=1$

 

Khi đó cần tìm min $P=\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{4}{ab+bc+ac}$

 

Áp dụng Cauchy Schwarz thì

 

$P\geq a+b+c+\frac{4}{ab+bc+ac}\geq\sqrt{3(ab+bc+ac)}+\frac{4}{ab+bc+ac}$

 

Bằng $AM-GM$ kết hợp với $ab+bc+ac\geq 3$ ta có

 

$9.\frac{\sqrt{3(ab+bc+ac)}}{9}+4.\frac{1}{ab+bc+ac}\geq 13\sqrt[13]{\frac{1}{9^9(ab+bc+ac)^4}.\sqrt{3^9(ab+bc+ac)^9}}\geq \frac{13}{3}$

 

Do đó $P_{min}=\frac{13}{3}$