Cho 3 số dương $a,b,c$ đôi một khác nhau và 2 số dương $x,y$ thỏa mãn $x+y=1$
Tìm GTLN của $\frac{(a-x)(a-y)}{a(a-b)(a-c)}+\frac{(b-x)(b-y)}{b(b-a)(b-c)}+\frac{(c-x)(c-y)}{c(c-a)(c-b)}$
$\frac{(a-x)(a-y)}{a(a-b)(a-c)}+\frac{(b-x)(b-y)}{b(b-a)(b-c)}+\frac{(c-x)(c-y)}{c(c-a)(c-b)}$
1 Bình chọn
Bắt đầu bởi yeutoanmaimai1, 11-03-2015 - 21:00
#1
Đã gửi 11-03-2015 - 21:00
yeutoanmaimai1
-
- Thành viên
-
- 295 Bài viết
Thượng sĩ
#2
Đã gửi 21-03-2015 - 23:58
the man
-
- Thành viên
-
- 589 Bài viết
Thiếu úy
Cho 3 số dương $a,b,c$ đôi một khác nhau và 2 số dương $x,y$ thỏa mãn $x+y=1$
Tìm GTLN của $\frac{(a-x)(a-y)}{a(a-b)(a-c)}+\frac{(b-x)(b-y)}{b(b-a)(b-c)}+\frac{(c-x)(c-y)}{c(c-a)(c-b)}$
Đặt $P=\frac{(a-x)(a-y)}{a(a-b)(a-c)}+\frac{(b-x)(b-y)}{b(b-a)(b-c)}+\frac{(c-x)(c-y)}{c(c-a)(c-b)}$
$\frac{(a-x)(a-y)}{a(a-b)(a-c)}=\frac{-bc(b-c)(a-x)(a-y)}{abc(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{abc(ac-ab)+abc(b-c)(x+y)-xybc(b-c)}{abc(a-b)(b-c)(c-a)}$
Tương tự với các biểu thức còn lại rồi cộng lại ta được $P=-\frac{xy\left [ bc(b-c)+ca(c-a) +ab(a-b)\right ]}{abc(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{xy}{abc}$
$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow P\leq \frac{1}{4abc}$
- khanghaxuan, yeutoanmaimai1, hoctrocuaHolmes và 1 người khác yêu thích
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
