Chủ đề này có 3 trả lời

[mituot03]

Cho a,b,c >0. Tìm max của P với:

$P=\frac{8a+3b+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc})}{(a+b+c)^{2} +1}$

[25 minutes]

Cho a,b,c >0. Tìm max của P với:

$P=\frac{8a+3b+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc})}{(a+b+c)^{2} +1}$

Cái quan trọng là tìm điều kiện của $a,b,c$ để có thể sử dụng ẩn phụ $x=a+b+c$

Hay cần chứng minh $8a+3b+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc})\leqslant m(a+b+c)$

Đặt $b=ka, c=tb=tka$

Khi đó $8a+3b+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc})=8a+3b+4(a\sqrt{k}+b\sqrt{t}+\frac{c}{\sqrt[3]{tk^2}})=(8+4\sqrt{k})a+(3+4\sqrt{t})b+\frac{4}{\sqrt[3]{tk^2}}c$

Cần tìm $t,k$ sao cho hệ số của $a,b,c$ là giống nhau, hay là giải hệ

           $8+4\sqrt{k}=3+4\sqrt{t}=\frac{4}{\sqrt[3]{tk^2}}$

Giải ra $t,k$ thay vào trên rồi sử dụng AM-GM

Khi đó $P\leqslant \frac{m(a+b+c)}{(a+b+c)^2+1}\leqslant \frac{m(a+b+c)}{2(a+b+c)}=\frac{m}{2}$

[binhnhaukhong]

Sử dụng BĐT AM-GM ta có các đánh giá sau:

$4\sqrt{ab}=2\sqrt{a.4b}\leq a+4b$

$4\sqrt{bc}=2.\sqrt{b.4c}\leq b+4c$

$4\sqrt[3]{abc}=\sqrt[3]{a.4b.16c}\leq \frac{a+4b+16c}{3}$

$\Rightarrow 8a+3b+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc})\leq \frac{28}{3}(a+b+c)$

 

Vậy $P\leq \frac{28t}{3+3t^2}\leq \frac{14}{3}$ (t=$a+b+c$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 12-03-2015 - 21:53

[TMW]

Cái quan trọng là tìm điều kiện của $a,b,c$ để có thể sử dụng ẩn phụ $x=a+b+c$

Hay cần chứng minh $8a+3b+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc})\leqslant m(a+b+c)$

Đặt $b=ka, c=tb=tka$

Khi đó $8a+3b+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc})=8a+3b+4(a\sqrt{k}+b\sqrt{t}+\frac{c}{\sqrt[3]{tk^2}})=(8+4\sqrt{k})a+(3+4\sqrt{t})b+\frac{4}{\sqrt[3]{tk^2}}c$

Cần tìm $t,k$ sao cho hệ số của $a,b,c$ là giống nhau, hay là giải hệ

           $8+4\sqrt{k}=3+4\sqrt{t}=\frac{4}{\sqrt[3]{tk^2}}$

Giải ra $t,k$ thay vào trên rồi sử dụng AM-GM

Khi đó $P\leqslant \frac{m(a+b+c)}{(a+b+c)^2+1}\leqslant \frac{m(a+b+c)}{2(a+b+c)}=\frac{m}{2}$

Liệu có đảm bảo không nhỉ, chẳng hạn nếu qua một số biến đổi như trên mà f(x) (hàm cuối cùng) nhận được không có khả năng giải, thì sẽ xử lý thế nào hay dừng lại và bảo.............."à, chắc đề có chỗ nào đó nhầm"................anh giải thích hộ em tại sao nhất thiết phải chọn ẩn a+b+c mà không chọn cái khác, chẳng nhẽ vì nó xuất hiện ở mẫu và liệu còn cách nào khác giải bài này không hay là lời giải độc nhất