Chủ đề này có 2 trả lời

[Chemistry Math]

Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài cạnh của một tam giác thì 

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{ab+ac+bc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{5}{2}$

 

[Lee LOng]

Ta có: $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac=(a-b)^{2}+(a-c)(b-c)$

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{3}{2}+\frac{(a-b)^{2}}{(a+c)(b+c)}+\frac{(a+b-2c)(a-c)(b-c)}{2(a+b)(b+c)(c+a)}$

Đưa về dạng $p(a-b)^{2}+q(a-c)(b-c)\geq 0$ với: $p=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{1}{(a+c)(b+c)}-\frac{(a-c)(b-c)}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+c)(b+c)}$

$q=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{a+b+2c}{(a+c)(b+c)}-\frac{(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+c)(b+c)}$

Giả sử$ c=max(a,b,c)$ .Chứng minh $p,q\geq 0$. Phép chứng minh hoàn tất

P/s : Mình có quyển sách BĐT, đây là cách giải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lee LOng: 13-03-2015 - 10:35

[binhnhaukhong]

Viết lại BĐT cần chứng minh dưới dạng:

$\frac{b+c-a}{b+c}+\frac{a+c-b}{a+c}+\frac{a+b-c}{a+b}\geq \frac{1}{2}+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{b+c-a}{b+c}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Do $a,b,c$ là độ dài cạnh tam giác nên các đại lượng bên VT đều dương nên áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$VT\geq \frac{(a+b+c)^2}{(b+c)(b+c-a)+(a+c)(a+c-b)+(a+b)(a+b-c)}$

Mặt khác thì:$(b+c)(b+c-a)+(a+c)(a+c-b)+(a+b)(a+b-c)=2(a^2+b^2+c^2)$

Vậy ta có ĐPCM.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 13-03-2015 - 16:52