Chủ đề này có 6 trả lời

[hoanglong2k]

Sở GD&ĐT Quảng Bình                           KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - THCS

                                                                                  NĂM HỌC 2009-2010

ĐỀ CHÍNH THỨC                                                      Môn: TOÁN

 SBD:                                                                   Thời gian làm bài: 150 phút

                                                                         ( Không kể thời gian phát đề )

____________________________________________________________________________

Câu I (2.5 điểm) Giải phương trình 

$$\sqrt{16-8x-3x^2}=x^2+3x-4$$

Câu II (2.5 điểm) Cho 2010 số thực $a_1,a_2,...,a_{2010}$ thỏa mãn điều kiện

$$\left\{\begin{matrix} a_1+a_2+...+a_{2010}=0\\ a_1^2+a_2^2+...+a_{2010}^{2}=1 \end{matrix}\right.$$

Chứng minh rằng trong 2010 số trên, có hai số có tích không vượt quá $\frac{-1}{2010}$

Câu III (3.0 điểm) Trong tam giác ABC, các điểm D,E,F tương ứng nằm trên các cạnh BC,CA,AB sao cho:

$$\widehat{AFE}=\widehat{BFD};\widehat{BDF}=\widehat{CDE};\widehat{CED}=\widehat{AEF}$$

a) Chứng minh rằng: $\widehat{BDF}=\widehat{BAC}$

b) Cho AB=5; BC=8; CA=7. Tính độ dài đoạn BD.

Câu IV (2.0 điểm) Chứng minh rằng phương trình :

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2010}$$

chỉ có hữu hạn nghiệm tự nhiên

 

 

_____________________________________________________________________________

Ghi chú:                        + Thí sinh không được sử dụng tài liệu và trao đổi khi làm bài

                                       + Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

[arsfanfc]

để choa làm câu 5 cho nha ( chuẩn bị 1 điểm nhắc nhở nhưng củng phải báo trước )

[Chung Anh]

 

Câu III (3.0 điểm) Trong tam giác ABC, các điểm D,E,F tương ứng nằm trên các cạnh BC,CA,AB sao cho:

$$\widehat{AFE}=\widehat{BFD};\widehat{BDF}=\widehat{CDE};\widehat{CED}=\widehat{AEF}$$

a) Chứng minh rằng: $\widehat{BDF}=\widehat{BAC}$

b) Cho AB=5; BC=8; CA=7. Tính độ dài đoạn BD.

 

a.Vẽ các tia Ex,Dy là tia đối của ED;DF

=>EC;DC là phân giác của góc DEx;EDy

=>C là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc F của tam giác FED

=>FC là phân giác góc EFD

=>AB vuông với FC

Tương tự có AD vuông với BC

=>đpcm

b.Từ công thức Hê-rông =>diện tích tam giác ABC

=>độ dài AD

=>độ dài BD

[arsfanfc]

Sở GD&ĐT Quảng Bình                           KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - THCS

                                                                                  NĂM HỌC 2009-2010

ĐỀ CHÍNH THỨC                                                      Môn: TOÁN

 SBD:                                                                   Thời gian làm bài: 150 phút

                                                                         ( Không kể thời gian phát đề )

____________________________________________________________________________

Câu I (2.5 điểm) Giải phương trình 

$$\sqrt{16-8x-3x^2}=x^2+3x-4$$

 

đk: $-4 \leq x\leq \frac{4}{3}$

$pt \Leftrightarrow \sqrt{(x+4)(4-3x)}=(x+4)(x-1)$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+4}((x-1)\sqrt{x+4}-\sqrt{4-3x})=0$

với x=4 thì t/m pt với x # 4 thì : pt $\Leftrightarrow (x-1)\sqrt{x+4}=\sqrt{4-3x}$

$\Leftrightarrow x^3 +2x^2-4x=0$

$\Leftrightarrow x(x^2+2x-4)=0$

 cách khác hay hơn thì post lên nha

[hoanglong2k]

a.Vẽ các tia Ex,Dy là tia đối của ED;DF

=>EC;DC là phân giác của góc DEx;EDy

=>C là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc F của tam giác FED

=>FC là phân giác góc EFD

=>AB vuông với FC

Tương tự có AD vuông với BC

=>đpcm

b.Từ công thức Hê-rông =>diện tích tam giác ABC

=>độ dài AD

=>độ dài BD

Sơ cấp thôi,mình học lớp 8 cũng làm được mà, có cần dài thế ko ><

a) Ta có: $\widehat{EFD}+\widehat{FDE}+\widehat{DEF}=540^{\circ}-2(\widehat{AFE}+\widehat{AEF}+\widehat{BDF})\Rightarrow 180=\widehat{AFE}+\widehat{AEF}+\widehat{BDF}$

mà $180^{\circ}=\widehat{AFE}+\widehat{AEF}+\widehat{BAC}\Rightarrow \widehat{BDF}=\widehat{BAC}$

b) Áp dụng các cặp tam giác đồng dạng: 

$\Delta BFD\sim \Delta BCA\Rightarrow 8BD=5BF $

$\Delta CED\sim \Delta BCA\Rightarrow 7CE=8CD $

$\Delta AEF\sim \Delta ABC\Rightarrow 7AE=5AF$

$\Leftrightarrow 7(7-CE)=5(5-BF)\Leftrightarrow 49-8CD=25-8BD\Leftrightarrow CD=BD=3$

mà $CD+BD=8$

$\Rightarrow BD=2.5$

[Nguyen Minh Hai]

.

Câu IV (2.0 điểm) Chứng minh rằng phương trình :

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2010}$$

chỉ có hữu hạn nghiệm tự nhiên

 

 

_____________________________________________________________________________

Ghi chú:                        + Thí sinh không được sử dụng tài liệu và trao đổi khi làm bài

                                       + Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y \geq z$

$\Rightarrow \frac{1}{x}\leq \frac{1}{y}\leq \frac{1}{z}$

$\Rightarrow \frac{1}{2010}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \leq \frac{3}{z}$

$\Rightarrow \frac{z}{3} \leq 2010 \Rightarrow z \leq 6030$

...................................

[hoctrocuaZel]

CĐNCKÍN

1. Hệ PT đẳng cấp

2. $m\leq a_j\leq M\Rightarrow mM\leq -\frac{1}{2010}\Rightarrow m=min_{a_j};M=max_{a_j}$

3. 4.... (D.)