Chủ đề này có 2 trả lời

[plutocute]

cho a,b,c >0 thỏa mãn : $a^{4}+b^{4}+c^{4}\leq 2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$ .

chứng minh rằng :$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2(ab+bc+ac)$

[halloffame]

Bài này có thể dùng Schur bậc 4, nhưng dấu bằng xảy ra ở đâu nhỉ   

Gọi BĐT đã cho là (1), BĐT cần chứng minh là (2).

Biến đổi (1) thành $ (\sum ab)^{2} \geq \frac{\sum a^{4}}{2} + 2abc(\sum a) $.

Như vậy để chứng minh (2) thì ta phải chứng minh :

$ \frac{\sum a^{4}}{2} + 2abc(\sum a) \geq \frac{(\sum a^{2})^{2}}{4} $

$ \leftrightarrow  \sum a^{4} + 4abc(\sum a)\geq 2\sum a^{2}b^{2} $.

Nhưng theo Schur bậc 4 và AM - GM: $ \sum a^{4} + abc(\sum a)\geq \sum ab(a^{2}+b^{2}) \geq 2\sum a^{2}b^{2} $.

Ta có đpcm.

 

 

 

[dogsteven]

Bài này có thể dùng Schur bậc 4, nhưng dấu bằng xảy ra ở đâu nhỉ   

Gọi BĐT đã cho là (1), BĐT cần chứng minh là (2).

Biến đổi (1) thành $ (\sum ab)^{2} \geq \frac{\sum a^{4}}{2} + 2abc(\sum a) $.

Như vậy để chứng minh (2) thì ta phải chứng minh :

$ \frac{\sum a^{4}}{2} + 2abc(\sum a) \geq \frac{(\sum a^{2})^{2}}{4} $

$ \leftrightarrow  \sum a^{4} + 4abc(\sum a)\geq 2\sum a^{2}b^{2} $.

Nhưng theo Schur bậc 4 và AM - GM: $ \sum a^{4} + abc(\sum a)\geq \sum ab(a^{2}+b^{2}) \geq 2\sum a^{2}b^{2} $.

Ta có đpcm.

 

Để ý là $2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-a^4-b^4-c^4=(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)\geqslant 0$

Nếu $b+c-a\leqslant 0$ thì $(c+a-b)(a+b-c)\leqslant 0$, chia ra hai trường hợp

- Nếu $c+a-b\leqslant 0$ thì $c\leqslant 0$ vô lý.

- Nếu $c+a-b\geqslant 0$ thì $b\leqslant 0$ vô lý.

Do đó $b+c-a\geqslant 0, c+a-b\geqslant 0$ và $a+b-c\geqslant 0$

Suy ra điều phải chứng minh