Chủ đề này có 4 trả lời

[dang ngoc sang]

Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2010$

Tìm GTLN của biểu thức: P=$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$

[Duong Nhi]

Dùng BĐT  $\frac{1}{a+b+c+d}\leq \frac{1}{16}.\left ( \frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c} +\frac{1}{d} \right )$

AD với a=x; b=y; c=z; d=x 

=> $\sum \frac{1}{2x+y+z}\leq \sum \frac{1}{16}.(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})= \frac{1}{16}.4.2010$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duong Nhi: 14-03-2015 - 21:54

[HatNangNgoaiThem]

$\sum \frac{1}{2x+y+z}= \sum \frac{1}{\left ( x+y \right )+\left ( x+z \right )}\leq \sum \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z} \right )\leq \sum \frac{1}{16}\left ( \frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )$ 

Từ đó: P$\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )$ 

Suy ra tìm đc Max của P

Dấu "=" xảy ra: x=y=z=$\frac{1}{670}$

[arsfanfc]

ta có :$ \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq \frac{1}{a+b} (1)$

$\frac{1}{4}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{1}{b+c} (2)$

$\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})\geq \frac{1}{a+c} (3)$

(1),(2),(3) $\Rightarrow \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 2(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})$

áp dụng vào bài toán ta có:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq 2(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x})\geq 4(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}) \Rightarrow P \leq \frac{2010}{4}$

dấu '=' khi $x=y=z=\frac{3}{2010} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 14-03-2015 - 21:20

[tran khanh hung]

nhanh v