Chủ đề này có 2 trả lời

[hoanglong2k]

Chứng minh rằng không thể biểu diễn bất kì một số nguyên tố nào thành tổng bình phương của hai số tự nhiên theo các cách khác nhau.

[thaibao2008]

http://diendantoanho...776-phản-chứng/

[nhungvienkimcuong]

Chứng minh rằng không thể biểu diễn bất kì một số nguyên tố nào thành tổng bình phương của hai số tự nhiên theo các cách khác nhau.

giả sử rằng $n$ là số nguyên tố có thể biểu diễn dưới dạng tổng bình phương hai số theo hai cách khác nhau hay

$n=a^2+b^2=c^2+d^2$ $($ $a,b,c,d$ đôi một khác nhau $)$

ta có

$(ac+bd)(ad+bc)=ab(a^2+b^2)+cd(c^2+d^2)=n(ab+cd)$

$\Rightarrow n\mid ac+bd\vee n\mid ad+bc$ $($ do $n$ nguyên tố $)$

$WLOG:$ $n\mid ac+bd$

$\Rightarrow n\leq ac+bd$       $(1)$

mặt khác

$\Rightarrow n^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ab+cd)^2+(ad-bc)^2\geq (ab+cd)^2$

$\Rightarrow n\geq ab+cd$      $(2)$

từ $(1)$ và $(2)$ cho ta dấu bằng của đẳng thức xảy ra hay

$ad=bc\Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$

nếu $a>c\Rightarrow b>d\Rightarrow a^2+b^2>c^2+d^2$ $($ vô lí $)$

tương tự với $a<c$ do đó

$a=c\Rightarrow b=d$

điều trên mâu thuẫn với giả thiết ban đầu do đó có $Q.E.D$

 

U-Th

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 15-03-2015 - 07:59