Chủ đề này có 2 trả lời

[raquaza]

Cho a,b,c $\geq$ 0 và $a+b+c=5$ . Tìm Max M =$a^{4}b+b^{4}c+c^{4}a$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi raquaza: 15-03-2015 - 18:13

[Viet Hoang 99]

Cho a,b,c $\geq$ 0 và $a+b+c=5$ . Tìm Max M =$a^{4}b+b^{4}c+c^{4}a$

Dùng phương pháp chuyển vị của VQBC:

Giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$. 

$M\le b(a+c)^4=\frac{1}{4}.4b.(a+c)(a+c)(a+c)(a+c)\le \frac{1}{4}.\left (\frac{4(a+b+c)}{5}  \right )^5=4^4$

[binhnhaukhong]

Mình thấy có bài toán tổng quát như sau:

Với $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=k$ ta luôn có:

$a^{n}b+b^{n}c+c^{n}a\leq \frac{n^{n}.k^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}$

 

Chứng minh:

KMTTQ,giả sử rằng $a=max${$a,b,c$} khi đó ta có:

$P=a^nb+b^nc+c^na\leq a^nb+a^{n-1}bc+\frac{a^nc}{2}+\frac{a^{n-1}c^2}{2}$

$=a^{n-1}(ab+bc+\frac{ac}{2}+\frac{c^2}{2})=a^{n-1}(a+c)(b+\frac{c}{2})$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$a^{n-1}(a+c)(b+\frac{c}{2})=n^n.\frac{a}{n}...\frac{a}{n}.\frac{a+c}{n}(b+\frac{c}{2})\leq n^n[\frac{(n-1).\frac{a}{n}+\frac{a+c}{n}+b+\frac{c}{2}}{n+1}]^{n+1}=n^n.[\frac{a+b+(\frac{1}{2}+\frac{1}{n})c}{n+1}]^{n+1}\leq n^n(\frac{a+b+c}{n+1})^{n+1}=\frac{n^n.k^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}$    ($n-1$ lần $\frac{a}{n}$)

Dấu bằng xảy ra khi $a=\frac{kn}{n+1},b=\frac{k}{n+1},c=0$ hay các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 17-03-2015 - 22:07