2 replies to this topic

[Nguyen Hai Bang]

Giải hệ phương trình $ \left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2=2 & & \\ xy+yz+xz=1 & & \end{matrix}\right. (\frac{-4}{3}\leq x,y,z\leq \frac{4}{3})$

 

Edited by hachinh2013, 15-03-2015 - 22:40.

[Ngoc Hung]

 

Giải hệ phương trình $ \left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2=2 & & \\ xy+yz+xz=1 & & \end{matrix}\right. (\frac{-4}{3}\leq x,y,z\leq \frac{4}{3})$

 

 

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)=4\Rightarrow (x+y+z)^{2}=4\Rightarrow x+y+z=\pm 2$

Xét trường hợp 1: $x+y+z=2\Rightarrow y+z=2-x$

Tự phương trình thứ 2 ta có $yz=1-x(y+z)=1-2x+x^{2}$

Vậy y, z là hai nghiệm của phương trình bậc hai $t^{2}-(2-x)t+1-2x+x^{2}=0$

Để phương trình có nghiệm thì $\Delta \geq 0\Rightarrow -3x^{2}+4x\geq 0\Leftrightarrow 0\leq x\leq \frac{4}{3}$

Tương tự ta có $0\leq x,y,z\leq \frac{4}{3}$. Kết hợp với giả thiết ta có nghiệm

Xét trường hợp 2: Tương tự

[baotranthaithuy]

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)=4\Rightarrow (x+y+z)^{2}=4\Rightarrow x+y+z=\pm 2$

Xét trường hợp 1: $x+y+z=2\Rightarrow y+z=2-x$

Tự phương trình thứ 2 ta có $yz=1-x(y+z)=1-2x+x^{2}$

Vậy y, z là hai nghiệm của phương trình bậc hai $t^{2}-(2-x)t+1-2x+x^{2}=0$

Để phương trình có nghiệm thì $\Delta \geq 0\Rightarrow -3x^{2}+4x\geq 0\Leftrightarrow 0\leq x\leq \frac{4}{3}$

Tương tự ta có $0\leq x,y,z\leq \frac{4}{3}$. Kết hợp với giả thiết ta có nghiệm

Xét trường hợp 2: Tương tự

 

nếu vậy thì sau khi kết hợp 2 trường hợp ta lại được $\dfrac{-4}{3}\leq x;y;x \leq \dfrac{4}{3}$ là điều kiện bài cho !

 

vậy có thể kết luận rằng với đk bài cho thì hệ có vô số nghiệm