ĐỀ THI HSG TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM 2014-2015
Câu 1(4 điểm): Cho $P=\frac{x^{2}-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{2(x-1)}{\sqrt{x}-1}$
a, Rút gọn P.
b,Tìm MinP.
Câu 2(4 điểm): 1.Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca=0$.
Tính $T=\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ac}{b^{2}}+\frac{ab}{c^{2}}.$
2.Giải phương trình $(2x-1)^{2}=12\sqrt{x^{2}-x-2}+1.$
Câu 3(4 điểm): 1.Chứng minh rằng với mọi n nguyên ta luôn có $n^{2}+n+1$ không chia hết cho 9.
2.Cho dãy số 13576193923..., bắt đầu từ chữ số thứ 5, mỗi chữ số bằng hàng đơn vị của tổng bốn chữ số đứng ngay trước nó.
Hỏi trong dãy này có chứa cụm chữ số 1234 và 6789 hay không?
Câu 4(3 điểm): Cho a,b,c là các số dương.CMR: $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca.$
Câu 5(5 điểm): Cho $\Delta ABC$ vuông tại A và AB<AC. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh AC($H \in BC$) và M là điểm đối xứng của H qua AB. Tia MC cắt đường tròn ngoại tiếp của $\Delta AHB$ tại P($P\neq M$). Tia HP cắt đường tròn ngoại tiếp $\Delta APC$ tại N($N\neq P$). Gọi E và K tương ứng là giao điểm của AB và BC với đường tròn ngoại tiếp $\Delta APC$($E\neq A,K\neq C$).
a, Chứng minh NE song song với BC.
b,Chứng minh H là trung điểm của KB.
Năm nay đề hơi bị dễ , suy nghĩ một tí là ra liền, chỉ có câu 3.2 là hơi khó chịu một tí .