ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NGHÊ AN 2014-2015 (150 phút )
Bài 1. (4 điểm)
a, Cho hai số tự nhiên a,b thỏa mãn điều kiện $a^{2}+a=2b^{2}+b$. Chứng minh rằng a-b và a+b+1 đều là các số chính phương
b,Tìm số tự nhiên n sao cho số 2015 viết được thành tổng của n hợp số nhưng không thể viết thành tổng của n+1 hợp số
Bài 2.(5 điểm)
a, Giai Phương Trình: $\sqrt{6x-1}+\sqrt{9x^{2}-1}=6x-9x^{2}$
b, Giai Hệ Phương Trình: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+xy=2 & & \\ x^{3}+y^{3}=2x+4y& & \end{matrix}\right.$
Bài 3 .( 3 điểm)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: abc=1. Tìm Max :
$\sum \frac{1}{a+2b+3}$
Bài 4.(6 điểm). Cho tam giác ABC có 3 góc nội tiếp đường tròn $\left ( O \right )$ .Trên cung nhỏ BC của đường tròn $\left ( O \right )$ lấy điểm M ( M không trùng với B,C). Gọi D,E,F lần lượt là 3 điểm đối xứng với M qua BC,CA,AB. Chứng Minh :
a, Ba điểm D,E,F thẳng hàng
b, $\frac{AB}{MF}+\frac{AC}{ME}=\frac{BC}{MD}$
Bài 5.(2 điểm) Cho 121 điểm phân biệt nằm trong hoặc nằm trên cạnh của 1 tam giác đều có cạnh bằng 6cm. Chứng minh rằng có thể vẽ được 1 đường tròn có đường kính bằng $\sqrt{3}$ chứa ít nhất 11 điểm trong số các điểm đã cho.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phanbalong: 20-03-2015 - 21:40