Chủ đề này có 1 trả lời

[Linhh Chii]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1. CMR $\frac{a^{3}+5}{a^{3}(b+c)}+\frac{b^{3}+5}{b^{3}(c+a)}+\frac{c^{3}+5}{c^{3}(a+b)}\geq 9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Linhh Chii: 19-03-2015 - 20:04

[longatk08]

Có BĐT sau:

$a^3+1+1\geq 3a$ Vậy nên ta sẽ chứng minh:

$\sum \frac{3a+3}{a^3(b+c)}\geq 9$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^2(b+c)}+\sum \frac{1}{a^3(b+c)}\geq 3$

Với $abc=1$ thì ta dễ dàng có được:$2.(\sum \frac{1}{a^3(b+c)})\geq 3$

Xét $P=\sum \frac{1}{a^2(b+c)}=\frac{bc}{a(b+c)}=\frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\geq \frac{3}{2}$

Nêu đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$ thì BĐT trên chính là BĐT Nesbit nên đpcm là đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 19-03-2015 - 21:34