Chủ đề này có 3 trả lời

[issacband365]

Cho a,b,c >0 và a+b+c=3.CMR $\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}}+\frac{ac}{\sqrt{b^{2}+3}}\leq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi issacband365: 20-03-2015 - 22:29

[Dinh Xuan Hung]

Cho a,b,c >0 và a+b+c=3.CMR $\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}}+\frac{ac}{\sqrt{b^{2}+3}}\leq \frac{3}{2}$

$\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}=\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ac}}=\frac{ab}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}\leq \frac{ab}{2}\left ( \frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c} \right )=\frac{1}{2}\left ( \frac{ab}{a+c}+\frac{ba}{b+c} \right )$

CMTT:

$\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c} \right )$

$\frac{ac}{\sqrt{b^2+3}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c} \right )$

$\Rightarrow \sum \frac{ab}{\sqrt{b^2+3}}\leq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{a(b+c)}{b+c} \right )=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{3}{2}$

[nguyenhongsonk612]

$\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}=\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ac}}=\frac{ab}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}$$\leq \frac{ab}{2}\left ( \frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c} \right )=\frac{1}{2}\left ( \frac{ab}{a+c}+\frac{ba}{b+c} \right )$

CMTT:

$\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c} \right )$

$\frac{ac}{\sqrt{b^2+3}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c} \right )$

$\Rightarrow \sum \frac{ab}{\sqrt{b^2+3}}\leq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{a(b+c)}{b+c} \right )=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{3}{2}$

Chỗ này phải là dấu $\leq$ chứ cậu

Theo $AM-GM$ thì $ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$

[congdaoduy9a]

nhầm 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congdaoduy9a: 20-03-2015 - 23:23