Chủ đề này có 4 trả lời

[shinichikudo201]

Cho $a; b; c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1006$ . Chứng minh:

$\sum_{cyc}^{a; b; c}\sqrt{2012+\frac{(b-c)^2}{2}}\leq 2012\sqrt{2}$

[Dinh Xuan Hung]

Cho $a; b; c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1006$ . Chứng minh:

$\sum_{cyc}^{a; b; c}\sqrt{2012+\frac{(b-c)^2}{2}}\leq 2012\sqrt{2}$

ĐỀ BÀI SAI RỒI NHÉ.NẾU ĐỀ BÀI ĐÚNG LÀ: a,b,c là các số không âm.Chứng minh:$\sum \sqrt{2012a+\frac{(b-c)^2}{2}}\leq 2012\sqrt{2}$

Ta có:$2012a+\frac{(b-c)^2}{2}=2a.1006+\frac{(b-c)^2}{2}=2a(a+b+c)+\frac{(b-c)^2}{2}=\frac{4a^2+4a(b+c)+(b-c)^2}{2}=\frac{4a^2+4a(b+c)+(b+c)^2-4bc}{2}=\frac{(2a+b+c)^2}{2}-2bc\leq \frac{(2a+b+c)^2}{2}(b,c\geq 0)$

$\Rightarrow \sqrt{2012a+\frac{(b-c)^2}{2}}\leq \frac{2a+b+c}{\sqrt{2}}$

CMTT rồi ta có:$\Rightarrow \sum \sqrt{2012a+\frac{(b-c)^2}{2}}\leq \sum \frac{2a+b+c}{\sqrt{2}}=2012\sqrt{2}$

[hoanglong2k]

ĐỀ BÀI SAI RỒI NHÉ.NẾU ĐỀ BÀI ĐÚNG LÀ: a,b,c là các số không âm.Chứng minh:$\sum \sqrt{2012a+\frac{(b-c)^2}{2}}\leq 2012\sqrt{2}$

Ta có:$2012a+\frac{(b-c)^2}{2}=2a.1006+\frac{(b-c)^2}{2}=2a(a+b+c)+\frac{(b-c)^2}{2}=\frac{4a^2+4a(b+c)+(b-c)^2}{2}=\frac{4a^2+4a(b+c)+(b+c)^2-4bc}{2}=\frac{(2a+b+c)^2}{2}-2bc\leq \frac{(2a+b+c)^2}{2}(b,c\geq 0)$

$\Rightarrow \sqrt{2012a+\frac{(b-c)^2}{2}}\leq \frac{2a+b+c}{\sqrt{2}}$

CMTT rồi ta có:$\Rightarrow \sum \sqrt{2012a+\frac{(b-c)^2}{2}}\leq \sum \frac{2a+b+c}{\sqrt{2}}=2012\sqrt{2}$

Sai rồi, nếu vậy dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=0$ à 

[shinichikudo201]

Sai rồi, nếu vậy dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=0$ à 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $(a; b; c)=(0 ;0; 1006)$ và các hoán vị

[JayVuTF]

Cho $a; b; c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1006$ . Chứng minh:

$\sum_{cyc}^{a; b; c}\sqrt{2012+\frac{(b-c)^2}{2}}\leq 2012\sqrt{2}$

Trước hết có

$$ 2a \left( a+b+c \right)+\frac{\left( b-c \right)^2}{2} - \left( a \sqrt{2} + \frac{b+c}{\sqrt{2}} \right)^2 =-2bc \le 0 $$

Như vậy 

$$ \sqrt{ 2012 a + \frac{\left( b-c \right)^2}{2}  } \le a \sqrt{2} + \frac{b+c}{\sqrt{2}}  $$

Tương tự cho hai biểu thức còn lại , suy ra 

$$ \sqrt{ 2012 a + \frac{\left( b-c \right)^2}{2}  } + \sqrt{ 2012 b + \frac{\left( c-a \right)^2}{2}  }  + \sqrt{ 2012 c + \frac{\left( a-b \right)^2}{2}  }  \le 2 \sqrt{2} \left( a+b+c \right)=2012 \sqrt{2} $$

 

 

Nguồn HM