Chủ đề này có 4 trả lời

[Nguyen Duc Phu]

1)Cho a, b, c là các số dương thỏa a+b+c=3. Chứng minh

a) $\sum \frac{1}{a^2+1}\geq \frac{3}{2}$

b) $\sum \frac{a^2}{a^2+2b^2}\geq 1$

c) $\sum \frac{a^2}{a+2b^3}\geq 1$

2)Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt{2a(a+b)^3}+b\sqrt{2(a^2+b^2)}\leq 3(a^2+b^2)$

( Chỉ dùng Cô-si hoặc biến đổi tương đương)

[shinichikudo201]

1)Cho a, b, c là các số dương thỏa a+b+c=3. Chứng minh

a) $\sum \frac{1}{a^2+1}\geq \frac{3}{2}$

b) $\sum \frac{a^2}{a^2+2b^2}\geq 1$

c) $\sum \frac{a^2}{a+2b^3}\geq 1$

2)Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt{2a(a+b)^3}+b\sqrt{2(a^2+b^2)}\leq 3(a^2+b^2)$

( Chỉ dùng Cô-si hoặc biến đổi tương đương)

Tất cả các câu bài $1$ đều sủ dụng phương pháp $Cauchy$ ngược dấu.

Ví dụ như câu $a$ thì sẽ làm như thế này:

$\sum \frac{1}{a^2+1}= \sum 1-\frac{a^2}{a^2+1}\geq \sum 1-\frac{a^2}{2a}= \frac{3}{2}$

[Riann levil]

chém bài 1b:  

$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2b^{2}}= \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2b^{2}}+\frac{1}{9}(a^{2}+2b^{2})-\frac{1}{9}(a^{2}+2b^{2})\geq \sum \frac{2}{3}a-\frac{1}{9}(a^{2}+2b^{2})= \frac{2}{3}(a+b+c) - \frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 1$

                 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Riann levil: 21-03-2015 - 19:38

[arsfanfc]

 

$\sqrt{2a(a+b)^3}+b\sqrt{2(a^2+b^2)}\leq 3(a^2+b^2)$

( Chỉ dùng Cô-si hoặc biến đổi tương đương)

nhờ thánh chỉ giùm nên làm đc like cho nha  

$\sqrt{2a(a+b)^3}+b\sqrt{2(a^2+b^2)} =\sqrt{2a(a+b)(a^2+2ab+b^2)}+\sqrt{2b^2(a^2+b^2)} =\sqrt{(2a^2+2ab)(a^2+2ab+b^2)}+\sqrt{2b^2(a^2+b^2)} \leq \frac{3a^2+4ab+b^2}{2}+\frac{2b^2+a^2+b^2}{2}=2(a^2+b^2)+2ab \leq 3(a^2+b^2)$

[hoanglong2k]

1)Cho a, b, c là các số dương thỏa a+b+c=3. Chứng minh

 

c) $\sum \frac{a^2}{a+2b^3}\geq 1$

 

 

Câu 1c nữa:

 Ta có: $\frac{a^2}{a+2b^3}=a-\frac{2ab^3}{a+b^3+b^3}\geq a-\frac{2ab^3}{3b^2\sqrt[3]a}=a-\frac{2}{3}.b\sqrt[3]{a^2}$

            $\Rightarrow \sum \frac{a^2}{a+2b^3}\geq \sum a-\frac{2}{3}\sum b\sqrt[3]{a^2}=3-\frac{2}{3}\sum b\sqrt[3]{a^2}$

Lại có: $b(a+a+1)\geq 3b.\sqrt[3]{a^2}\Leftrightarrow \sum b\sqrt[3]{a^2}\leq \frac{1}{3}(2\sum ab+\sum b)\leq \frac{1}{3}(2.3+3)=3$

Nên $ \sum \frac{a^2}{a+2b^3}\geq 3-2=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 23-03-2015 - 19:43