Chủ đề này có 2 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c > 0 và $abc\geq 1$. Chứng minh rằng $a+b+c\geq \frac{1+a}{1+b}+\frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$

[Nguyen Minh Hai]

Cho a, b, c > 0 và $abc\geq 1$. Chứng minh rằng $a+b+c\geq \frac{1+a}{1+b}+\frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$

Xét 2TH:

- Xét với $abc=1$: $BDT\Leftrightarrow \sum_{a,b,c} \frac{ab}{1+b} \geq \sum_{a,b,c}\frac{1}{1+a}$                                      $(1)$

Đặt: $(a,b,c)\rightarrow (\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})$

$(1)\rightarrow \sum_{x,y,z} \frac{x}{y+z} \geq \sum_{x,y,z} \frac{y}{x+y}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x-z}{y+z} \geq 0$                                                                                                                                 $(2)$

Không mất tính tổng quát, giả sử: $x=max(x,y,z)$

$(2)\Leftrightarrow (x-z)(\frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+z})+(z-y)(\frac{1}{x+y}-\frac{1}{z+x}) \geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{(x-z)(x-y)}{(x+z)(y+z)}+\frac{(z-y)^2}{(x+y)(y+z)} \geq 0$ 

Luôn đúng do $x=max(x,y,z)$. Xảy ra dấu $"="$ khi $x=y=z$ hay $a=b=c=1$

- Xét với $abc>1$: 

Đặt: $(a,b,c)\rightarrow (ka',kb',kc')$ với $k=\sqrt[3]{abc} >1$

$\Rightarrow a'b'c'=1$

Cần cm: $\sum_{a',b',c'}ka' \geq \sum_{a',b',c'}\frac{1+ka'}{1+kb'}$

$\Leftrightarrow a'+b'+c' \geq \sum_{a',b',c'}\frac{\frac{1}{k}+a'}{1+kb'}$

Mà với $a'b'c'=1$, theo cm trên ta có: 
$a'+b'+c'\geq \sum_{a',b',c'}\frac{1+a'}{1+b'} > \sum_{a',b',c'}\frac{\frac{1}{k}+a'}{1+kb'}$ (do $k>1$)

................................................. Vậy bài toán cm xong!! 

[dogsteven]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

$\sum \dfrac{1+a}{1+b}=3+a+b+c-\sum \dfrac{b(1+a)}{1+b}\leqslant 3+a+b+c-3\sqrt[3]{\prod \dfrac{b(1+a)}{1+b}}\leqslant a+b+c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 23-03-2015 - 14:45