Chủ đề này có 9 trả lời

[Sherlock Nguyen]

Tìm số tự nhiên x; y thỏa mãn:

 a) $x^{2000}+y^{2000}=2003^{2000}$

 b) $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2001}$

[dogsteven]

Bài 1. $2003^{2000}\equiv 2^{2000}= 4^{1000}\equiv 1\pmod{3}$

Do đó $x=0$ hoặc $y=0$, thay vào được $(x,y)\in \{(0,2003), (2003,0)\}$

Bài 2. Ta có $x=2001+y-2\sqrt{2001y}$

Do đó $2001y$ là số chính phương. Mà $0\leqslant y\leqslant 2001$ nên $y=2001$ hoặc $y=0$

[Truong Gia Bao]

Bài 1. $2003^{2000}\equiv 2^{2000}= 4^{1000}\equiv 1\pmod{3}$

Do đó $x=0$ hoặc $y=0$, thay vào được $(x,y)\in \{(0,2003), (2003,0)\}$

 

Tại sao?????????????

[nangcuong8e]

Tìm số tự nhiên x; y thỏa mãn:

 a) $x^{2000}+y^{2000}=2003^{2000}$

 b) $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2001}$

 

a, Ta có: $x^{2000} +y^{2000}= 2003^{2000} \Rightarrow x^{2000}+ y^{2000} \vdots 2003$
Mà $2003$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ nên $x \vdots 2003$ và $y \vdots 2003$
  Đặt $x =2003x_1$ và $y =2003y_1$, thay vào ta có:
$2003^{2000}.x_1^{2000} +2003^{2000}.y_1^{2000} =2003^{2000} \Leftrightarrow x_1^{2000} +y_1^{2000} =1$
 Dễ thấy $x_1^{2000};y_1{2000} \geq 0$ nên $x_1^{2000} =1$ và $y_1^{2000} =0$ hoặc hoán vị lại.
Đến đây dễ giải quyết được bài toán.
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nangcuong8e: 23-03-2015 - 20:46

[Sherlock Nguyen]

Bài 1. $2003^{2000}\equiv 2^{2000}= 4^{1000}\equiv 1\pmod{3}$

Do đó $x=0$ hoặc $y=0$, thay vào được $(x,y)\in \{(0,2003), (2003,0)\}$

 

a, Ta có: $x^{2000} +y^{2000}= 2003^{2000} \Rightarrow x^{2000}+ y^{2000} \vdots 2003$
Mà $2003$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ nên $x \vdots 2003$ và $y \vdots 2003$
  Đặt $x =2003x_1$ và $y =2003y_1$, thay vào ta có:
$2003^{2000}.x_1^{2000} +2003^{2000}.y_1^{2000} =2003^{2000} \Leftrightarrow x_1^{2000} +y_1^{2000} =1$
 Dễ thấy $x_1^{2000};y_1{2000} \geq 0$ nên $x_1^{2000} =1$ và $y_1^{2000} =0$ hoặc hoán vị lại.
Đến đây dễ giải quyết được bài toán.
 

mình cũng nghĩ ra một cách nữa, mọi người xem hộ mình xem đúng ko nhé:

+) $x=0$ hoặc $y=0$=>...

+)$ x; y \neq 0$ 

   Giả sử $x\geq y$. Ta có x<2003 => $x+1\leq 2003 $ <=> $(x+1)^{2000} \leq 2003^{2000}\leq 2x^{2000}$

mà $(x+1)^{2000}> x^{2000}+2000x^{1999}$ => $2000<x$ =>$2000<x<2003$

Ta có; $2003^{2000}\geq (x+1)^{2000}>x^{2000}+2000x^{1999} \Rightarrow x^{2000}+y^{2000}>x^{2000}+2000x^{1999}\Rightarrow y>2000\Rightarrow 2000< y\leq x< 2003\Rightarrow$ ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sherlock Nguyen: 23-03-2015 - 22:38

[MyMy ZinDy]

mình cũng nghĩ ra một cách nữa, mọi người xem hộ mình xem đúng ko nhé:

+) $x=0$ hoặc $y=0$=>...

+)$ x; y \neq 0$ 

   Giả sử $x\geq y$. Ta có x<2003 => $x+1\leq 2003 $ <=> $(x+1)^{2000} \leq 2003^{2000}\leq 2x^{2000}$

mà $(x+1)^{2000}> x^{2000}+2000x^{1999}$ => $2000<x$ =>$2000<x<2003$

Ta có; $2003^{2000}\geq (x+1)^{2000}>x^{2000}+2000x^{1999} \Rightarrow x^{2000}+y^{2000}>x^{2000}+2000x^{1999}\Rightarrow y>2000\Rightarrow 2000< y\leq x< 2003\Rightarrow$ ...

vậy còn trường hợp $x\leq y$ thì thế nào ? 

[MyMy ZinDy]

mình cũng nghĩ ra một cách nữa, mọi người xem hộ mình xem đúng ko nhé:

+) $x=0$ hoặc $y=0$=>...

+)$ x; y \neq 0$ 

   Giả sử $x\geq y$. Ta có x<2003 => $x+1\leq 2003 $ <=> $(x+1)^{2000} \leq 2003^{2000}\leq 2x^{2000}$

mà $(x+1)^{2000}> x^{2000}+2000x^{1999}$ => $2000<x$ =>$2000<x<2003$

Ta có; $2003^{2000}\geq (x+1)^{2000}>x^{2000}+2000x^{1999} \Rightarrow x^{2000}+y^{2000}>x^{2000}+2000x^{1999}\Rightarrow y>2000\Rightarrow 2000< y\leq x< 2003\Rightarrow$ ...

 

phần đỏ đỏ kia thì sao nữa hả bạn 

[marcoreus101]

mình cũng nghĩ ra một cách nữa, mọi người xem hộ mình xem đúng ko nhé:

+) $x=0$ hoặc $y=0$=>...

+)$ x; y \neq 0$ 

   Giả sử $x\geq y$. Ta có x<2003 => $x+1\leq 2003 $ <=> $(x+1)^{2000} \leq 2003^{2000}\leq 2x^{2000}$

mà $(x+1)^{2000}> x^{2000}+2000x^{1999}$ => $2000<x$ =>$2000<x<2003$

Ta có; $2003^{2000}\geq (x+1)^{2000}>x^{2000}+2000x^{1999} \Rightarrow x^{2000}+y^{2000}>x^{2000}+2000x^{1999}\Rightarrow y>2000\Rightarrow 2000< y\leq x< 2003\Rightarrow$ ...

Vai trò của x,y như nhau nên chỉ việc hoán vị thôi

[MyMy ZinDy]

Vai trò của x,y như nhau nên chỉ việc hoán vị thôi

vậy tiếp theo thì làm như thế nào ? 

[Sherlock Nguyen]

phần đỏ đỏ kia thì sao nữa hả bạn 

$2000< y\leq x< 2003\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=2001; 2002\\ x=2001;2002 \end{matrix}\right.$ (loại) vì $x^{2000}+y^{2000}> 2003^{2000}$