Chủ đề này có 2 trả lời

[shinichikudo201]

Tìm tất cả các số nguyên tố $p; q$ sao cho tồn tại các số tự nhiên $m$ thỏa mãn:

$\frac{pq}{p+q}=\frac{m^2+1}{m+1}$

 

[dogsteven]

Nếu $p=q$ thì giải ra được $p=q=2$ hoặc $p=q=5$

Nếu $p>q>2$ thì $(pq,p+q)=1$ và $(m^2+1, m+1)\leqslant 2$

Xét $m=2k-1$. Khi đó $\dfrac{m^2+1}{m+1}=\dfrac{2k^2-2k+1}{k}$. Do đó $pq=2k^2-2k+1$ và $p+q=k$. Nhưng ở đây ta lại có $k^2>4(2k^2-2k+1)$ là điều vô lý.

Do đó $(m^2+1, m+1)=1$ nên $pq=m^2+1$ và $p+q=m+1$. Từ đây ta suy ra $(m+1)^2>4(m^2+1)$ vô lý.

Do đó chỉ có $p=q=2$ là nghiệm duy nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 25-03-2015 - 18:04

[ductai202]

TH p=q còn nghiệm là p=q=5 nữa bạn à. khi đó m=3