ĐỀ THI HSG TOÁN 9, THANH HÓA NĂM HỌC 2014-2015
Ngày thi: 25/03/2015
Bài 1: Cho biểu thức $A=\left ( \frac{2x-1+\sqrt{x}}{1-x}+\frac{2x\sqrt{x}+x-\sqrt{x}}{1+x\sqrt{x}} \right ).\frac{(x-\sqrt{x})(1-\sqrt{x})}{2\sqrt{x}-1}-1$
a) Rút gọn A
b) Tìm x để $A< -\frac{1}{7}$A<−17
Bài 2: a) Giải phương trình $\frac{x}{x^{2}-x-2}+\frac{3x}{x^{2}-5x-2}-2=0$
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2x^{2}y^{2} & \\ (x+y)(1+xy)=4x^{2}y^{2} & \end{matrix}\right.$
Bài 3: a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình $5\left ( x^{2}+xy+y^{2} \right )=7(x+2y)$
b) Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho tồn tại m là số tự nhiên thỏa mãn $\frac{pq}{p+q}=\frac{m^{2}+1}{m+1}$
Bài 4: Cho 3 điểm A; B; C cố định thuộc đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng đi qua B và C (O không thuộc d). Kẻ tiếp tuyến AM; AN với (O) gọi I là trung điểm BC, AO cắt MN tại H và cắt (O) tại P; Q ( P nằm giữa A và O); BC cắt MN tại K
a) Chứng minh O; M; N; I đồng viên
b) Chứng minh K cố định
c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường vuông góc với MD cắt MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME
Bài 5: Cho a, b, c > 0 và $2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )+c\left ( \frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{a^{2}} \right )=6$
Tìm GTNN của $P=\frac{bc}{a(2b+c)}+\frac{ca}{b(2a+c)}+\frac{4ab}{c(a+b)}$