1 reply to this topic

[Ngoc Hung]

Tìm tất cả các hàm số $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn điều kiện $f\left [ xy+f(z) \right ]=\frac{xf(y)+yf(x)}{2}+z$, với x, y, z là các số thực 

[dogsteven]

Cho $x=y=z=0$ ta được $f(f(0))=0$, đặt $a=f(0)$ thì $f(a)=0$

Cho $x=0, y=1, z=a$ ta được $f(f(a))=\dfrac{f(0)}{2}+a\Leftrightarrow f(0)=0$

Cho $z=0$ ta được $f(xy)=\dfrac{xf(y)+yf(x)}{2}  \;\;\;(2)$

Trong $(2)$ cho $y=1$ ta được $2f(x)=xf(1)+f(x)\Leftrightarrow f(x)=xf(1)$

Vậy $f(x)=kx$, trong phương trình đầu cho $x=y=0$ ta được $f(f(z))=z\Leftrightarrow k^2=1\Leftrightarrow k=\pm 1$

Vậy $f(x)=-x$ hoặc $f(x)=x$, thử lại thỏa mãn.

Edited by dogsteven, 28-03-2015 - 05:54.