Cho tam giác ABC và M nằm trong tam giác. Các đường thẳng AM, BM, CM, cắt các cạnh BC, CA, AB, lần lượt tại A, B, C. Xác định vị trí M sao cho:
$T=\sqrt{\frac{AM}{MA}_{1}}+\sqrt{\frac{BM}{MB_{1}}}+\sqrt{\frac{CM}{MC_{1}}}$
Đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho tam giác ABC và M nằm trong tam giác. Các đường thẳng AM, BM, CM, cắt các cạnh BC, CA, AB, lần lượt tại A, B, C. Xác định vị trí M sao cho:
1 Bình chọn
Bắt đầu bởi thienthanbongdem, 27-03-2015 - 15:43
giup minh voi
#2
Đã gửi 27-03-2015 - 16:37
congdan9aqxk
-
- Thành viên
-
- 215 Bài viết
Thượng sĩ
Các bạn tự vẽ hình
Đặt diện tích tam giác ABC;BMC;AMC;AMC lần lượt là S;S1;S2;S3
$\frac{AA1}{MA1}=\frac{S}{S1}\Rightarrow \frac{AM}{MA1}=\frac{S2+S3}{S1}$
tương tự nên T=$\sum \sqrt{\frac{S2+S3}{S1}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{(S2+S3)(S1+S2)(S1+S3)}{S1.S2.S3}}\geq 3\sqrt[6]{8}=3\sqrt{2}$
Dấu = xảy ra khi S1=S2=S3$\Leftrightarrow \frac{S1}{S}=\frac{1}{3}$ hay M là trọng tâm tam giác.
- LzuTao yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: giup minh voi
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
