Chủ đề này có 5 trả lời

[hoctrocuaZel]

Tìm a,b,c,d là $N^*$ thỏa mãn:

$(2^a+1)^b=(2^c-1)^d$

[nhungvienkimcuong]

Tìm a,b,c,d là $N^*$ thỏa mãn:

$(2^a+1)^b=(2^c-1)^d$

ta có nhận xét là chỉ xét khi $(b,d)=1$

gọi $q$ là ước nguyên tố của $2^a+1\Rightarrow q\mid 2^c-1$

ta có

$v_q\left ( \left ( 2^a+1 \right )^b \right )=v_q\left ( \left ( 2^c-1 \right )^d \right )\Leftrightarrow b.v_q\left ( 2^a+1 \right )=d.v_q\left ( 2^c-1 \right )$

vì $(b,d)=1$ nên

$\left\{\begin{matrix} d\mid v_q\left ( 2^a+1 \right )\\ b\mid v_q\left ( 2^c-1 \right ) \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} v_q\left ( 2^a+1 \right )=kd\\v_q\left ( 2^c-1 \right )=kb \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2^a+1=h^d\\2^c-1=h^b \end{matrix}\right.$ $($ $h$ lẻ $)$

$\blacksquare$ với $c=1$ do đó $h=1\Rightarrow 2^a+1=1$ $($ vô lí $)$

$\blacksquare$ với $c\geq 2$

có 

$h^b=2^c-\equiv 3(mod\ 4)\Rightarrow b$ lẻ

vì

$\left\{\begin{matrix} h^b+1=2^c\\h^d-1=2^a \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} h+1\mid 2^c\\h-1\mid 2^a \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} h+1=2^t\\h-1=2^u \end{matrix}\right.\Rightarrow 2^t-2^u=2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t=2\\u=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow h=3$

vậy

$\left\{\begin{matrix} 2^a+1=3^d\\ 2^c-1=3^b \end{matrix}\right.$

nếu $c\geq 3\Rightarrow 3^b=2^c-1\equiv 7(mod\ 3)$ điều trên vô lí nên $c=2\Rightarrow b=1$

có 

$3\mid 3^d=2^a+1\Rightarrow a$ lẻ

$+)$ nếu $a=1$ thì $d=1$

$+)$ với $a\geq 3$

có 

$3^d-1=2^a\equiv 0(mod \ 4)\Rightarrow d$ chẵn do đó $d=2d_1$

ta có

$2^a=\left ( 3^{d_1}-1 \right )\left ( 3^{d_1}+1 \right )\Rightarrow ...\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3^{d_1}-1=2\\3^{d_1}+1=4 \end{matrix}\right.\Rightarrow d_1=1\Rightarrow d=2\Rightarrow a=3$

vậy $\boxed{(a,b,c,d)\in \left \{ (1,u,2,u),(3,u,2,2u) \right \}}$ với $u\in \mathbb{N}^*$

Spoiler

hôm qua anh định làm mà mạng nhà lag

 

U-Th

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 29-03-2015 - 09:05

[hoctrocuaZel]

ta có nhận xét là chỉ xét khi $(b,d)=1$

gọi $q$ là ước nguyên tố của $2^a+1\Rightarrow q\mid 2^c-1$

ta có

$v_q\left ( \left ( 2^a+1 \right )^b \right )=v_q\left ( \left ( 2^c-1 \right )^d \right )\Leftrightarrow b.v_q\left ( 2^a+1 \right )=d.v_q\left ( 2^c-1 \right )$

vì $(b,d)=1$ nên

$\left\{\begin{matrix} d\mid v_q\left ( 2^a+1 \right )\\ b\mid v_q\left ( 2^c-1 \right ) \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} v_q\left ( 2^a+1 \right )=kd\\v_q\left ( 2^c-1 \right )=kb \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2^a+1=h^d\\2^c-1=h^b \end{matrix}\right.$ $($ $h$ lẻ $)$

$\blacksquare$ với $c=1$ do đó $h=1\Rightarrow 2^a+1=1$ $($ vô lí $)$

$\blacksquare$ với $c\geq 2$

có 

$h^b=2^c-\equiv 3(mod\ 4)\Rightarrow b$ lẻ

vì

$\left\{\begin{matrix} h^b+1=2^c\\h^d-1=2^a \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} h+1\mid 2^c\\h-1\mid 2^a \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} h+1=2^t\\h-1=2^u \end{matrix}\right.\Rightarrow 2^t-2^u=2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t=2\\u=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow h=3$

vậy

$\left\{\begin{matrix} 2^a+1=3^d\\ 2^c-1=3^b \end{matrix}\right.$

nếu $c\geq 3\Rightarrow 3^b=2^c-1\equiv 7(mod\ 3)$ điều trên vô lí nên $c=2\Rightarrow b=1$

có 

$3\mid 3^d=2^a+1\Rightarrow a$ lẻ

$+)$ nếu $a=1$ thì $d=1$

$+)$ với $a\geq 3$

có 

$3^d-1=2^a\equiv 0(mod \ 4)\Rightarrow d$ chẵn do đó $d=2d_1$

ta có

$2^a=\left ( 3^{d_1}-1 \right )\left ( 3^{d_1}+1 \right )\Rightarrow ...\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3^{d_1}-1=2\\3^{d_1}+1=4 \end{matrix}\right.\Rightarrow d_1=1\Rightarrow d=2\Rightarrow a=3$

vậy $\boxed{(a,b,c,d)\in \left \{ (1,u,2,u),(3,u,2,2u) \right \}}$ với $u\in \mathbb{N}^*$

Spoiler

hôm qua anh định làm mà mạng nhà lag

 

U-Th

Làm e câu BĐT bên í vs.

Em cần gấp lắm.

sao $(b,d)=1$?

Cám ơn ạ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huong TH Phan: 29-03-2015 - 09:24

[nhungvienkimcuong]

Làm e câu BĐT bên í vs.

Em cần gấp lắm.

sao $(b,d)=1$?

nếu $(b,d)=k\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b=kb_1\\ d=kd_1 \end{matrix}\right.\Rightarrow (2^a+1)^{b_1}=(2^c-1)^{d_1}$ rồi cũng làm như trên nên ta có có đáp án như trên

lượng giác anh ngu lắm em,giúp em không được rồi

 

U-Th

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 29-03-2015 - 09:29

[hoctrocuaZel]

em chưa hiểu lắm

[nhungvienkimcuong]

em chưa hiểu lắm

chỗ nào em

 

U-Th