Chủ đề này có 7 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.

Chứng minh $\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\leq \frac{9}{2(1+9abc-a-b-c)}$

[Nguyen Minh Hai]

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.

Chứng minh $\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\leq \frac{9}{2(1+9abc-a-b-c)}$

Ta có:

$\sum \frac{1}{1-ab}=\sum\frac{1}{a^2+b^2+c^2-ab}\leq \sum \frac{1}{c^2+ab}$

Do đó cần chứng minh:

$\sum \frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{9}{2(1+9abc-a-b-c)}$                                                           $(1)$

Lại có:

$\sum \frac{1}{c^2+ac} \geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\geq \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{9}{2}$                           $(2)$

Nhân theo vế $(1)$ và $(2)$ ta cần phải chứng minh:

$\frac{9}{2(1+9abc-a-b-c)}\geq \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{1+9abc-a-b-c}\geq 1$                                          

$\Leftrightarrow a+b+c \geq 9abc$

Mà ta có: $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}$

Cần cm: $3\sqrt[3]{abc}\geq 9abc$

$\Leftrightarrow 1 \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

Tuy nhiên BĐT này luôn đúng do: $\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}=\frac{1}{3}$

Do đó ta có đpcm. Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[hoanglong2k]

Ta có:

$\sum \frac{1}{1-ab}=\sum\frac{1}{a^2+b^2+c^2-ab}\leq \sum \frac{1}{c^2+ab}$

Do đó cần chứng minh:

$\sum \frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{9}{2(1+9abc-a-b-c)}$                                                           $(1)$

Lại có:

$\sum \frac{1}{c^2+ac} \geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}\geq \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{9}{2}$                           $(2)$

Nhân theo vế $(1)$ và $(2)$ ta cần phải chứng minh:

$\frac{9}{2(1+9abc-a-b-c)}\geq \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{1+9abc-a-b-c}\geq 1$                                          

$\Leftrightarrow a+b+c \geq 9abc$

Mà ta có: $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}$

Cần cm: $3\sqrt[3]{abc}\geq 9abc$

$\Leftrightarrow 1 \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

Tuy nhiên BĐT này luôn đúng do: $\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}=\frac{1}{3}$

Do đó ta có đpcm. Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Có vấn đề, ví dụ như cần c/m $a\geq b$ mà có $b\geq c$ thì đi chứng minh $a\geq c$ để có đpcm là sai

Ví dụ: $10>1$ và $2>1$ vậy thì $2>10$ ???

[binhnhaukhong]

Đúng ra là phải chứng minh: $VT\leq \frac{9}{2}\leq VP$

[Nguyen Minh Hai]

Có vấn đề, ví dụ như cần c/m $a\geq b$ mà có $b\geq c$ thì đi chứng minh $a\geq c$ để có đpcm là sai

Ví dụ: $10>1$ và $2>1$ vậy thì $2>10$ ???

Chú ko hiểu ý anh rồi...Này nhé:
Ta cần chứng minh:

$\sum \frac{1}{c^2+ab}\leq\frac{9}{2(1+9abc-a-b-c)}$

Mà ta có:

$\frac{9}{2}\leq \sum\frac{1}{c^2+ab}$

Nếu ta chứng minh được: $\sum \frac{1}{c^2+ab}.\frac{9}{2}\leq \frac{9}{2(1+9abc-a-b-c)}.\sum\frac{1}{c^2+ab}$

thì bài toàn chứng minh xong...

(ở đây là nhân theo vế của 1 BĐT đúng và 1BĐT cần chứng minh...nếu ta chứng minh được BĐT sau khi nhân theo vế thì hiển nhiên BĐT trước đó củng phải đúng chứ)

P/s: ko like à chú :v 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 29-03-2015 - 15:26

[hoanglong2k]

Chú ko hiểu ý anh rồi...Này nhé:
Ta cần chứng minh:

$\sum \frac{1}{c^2+ab}\leq\frac{9}{2(1+9abc-a-b-c)}$

Mà ta có:

$\frac{9}{2}\leq \sum\frac{1}{c^2+ab}$

Nếu ta chứng minh được: $\sum \frac{1}{c^2+ab}.\frac{9}{2}\leq \frac{9}{2(1+9abc-a-b-c)}.\sum\frac{1}{c^2+ab}$

thì bài toàn chứng minh xong...

(ở đây là nhân theo vế của 1 BĐT đúng và 1BĐT cần chứng minh...nếu ta chứng minh được BĐT sau khi nhân theo vế thì hiển nhiên BĐT trước đó củng phải đúng chứ)

P/s: ko like à chú :v 

Sai thì like thế nào đk

Í chú là có $ac>bd$ mà $a>c$ thì $b>d$ á

Sai nhé!!!

Chỉ ra cho này:

Nếu cho $(x,y,z)\rightarrow (\frac{9}{2},\sum \frac{1}{c^2+ab}, \frac{9}{2(1+9abc-a-b-c)})$

Í chú là ta có: $y\geq x$ và nếu ta c/m được $xy\leq yz\Leftrightarrow x\leq z$ thì $y\leq z$ á

Sai, sai hoàn toàn 

[Chemistry Math]

Với $a=\sqrt{\frac{49}{50}};b=c=\frac{1}{10}$ thì BĐT trên sai

Vì $1+9abc-a-b-c$ chưa chắc lớn hơn 0

[binhnhaukhong]

Với $a=\sqrt{\frac{49}{50}};b=c=\frac{1}{10}$ thì BĐT trên sai

Vì $1+9abc-a-b-c$ chưa chắc lớn hơn 0

Nếu mà cái đấy <0 thì BĐT không còn đúng vì VT>0 do mỗi bộ số $(1-ab),(1-bc),(1-ac)$ đều >0 nên ta chỉ xét đến TH mà mẫu dương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 29-03-2015 - 22:43