Chủ đề này có 3 trả lời

[the man]

Tìm max của biểu thức $P=\frac{a^2+1}{b^2+1}+\frac{b^2+1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{a^2+1}$ trong đó $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 30-03-2015 - 00:30

[Chemistry Math]

Ta có: $x+y+z=1 \Rightarrow 0\leq x,y,z\leq 1$

Ta có: $\sum \frac{x^{2}+1}{y^{2}+1}\leq \frac{7}{2} (*)$

Biến đổi tương đương có:

$(*)\Leftrightarrow 2x^{4}z^{2}+2y^{4}x^{2}+2z^{4}y^{2}+2\sum x^{4}\leq 7x^{2}y^{2}z^{2}+3\sum x^{2}y^{2}+\sum x^{2}+1$

$\Leftrightarrow 2x^{4}z^{2}+2y^{4}x^{2}+2z^{4}y^{2}+2\sum x^{4}\leq 7x^{2}y^{2}z^{2}+3\sum x^{2}y^{2}+2\sum x^{2}+2\sum xy \leq 0$

$\Leftrightarrow 2xz(x^{3}z-1)+2xy(y^{3}x-1)+2yz(z^{3}y-1)+2\sum x^{2}(x^{2}-1)-\sum x^{2}y^{2}-7x^{2}y^{2}z^{2}\leq 0$ (Đúng)

Dấu $(=) xảy ra \Leftrightarrow x=y=0;z=1$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chemistry Math: 30-03-2015 - 23:12

[dogsteven]

Cách trên có vẻ là không tự nhiên lắm. Cũng như bạn trên, ta có $a,b,c\in [0,1]$

$\sum \dfrac{a^2+1}{b^2+1}=3+\sum a^2-\sum \dfrac{b^2(a^2+1)}{b^2+1}\leqslant 3+\sum a^2-\dfrac{b^2(a^2+1)}{2} =3+\dfrac{\sum a^2-\sum b^2c^2}{2}$

$\leqslant 3+\dfrac{1-2(ab+bc+ca)}{2}\leqslant 3+\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}$

[KietLW9]

Giả sử a = max{a,b,c} thì $\frac{1}{3}\leqslant a\leqslant 1$  

 

Ta xét bất đẳng thức: $\frac{b^2+1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{a^2+1}\leqslant (b+c)^2+1+\frac{1}{a^2+1}$ 

Nó tương đương với: $\frac{c(a^2c^3+2a^2bc^2+2bc^2+a^2b^2c+b^2c+2a^2c+c+2a^2b+2b)}{(a^2+1)(c^2+1)}\geqslant 0$ 

và $\frac{a^2+1}{b^2+1}\leqslant a^2+1$ 

Suy ra $VT\leqslant a^2+(b+c)^2 + \frac{1}{a^2+1}+2\leqslant \frac{7}{2}\Leftrightarrow \frac{(1-a)(1-3a-4a^3)}{2(a^2+1)}\leqslant 0$   *đúng*

Đẳng thức xảy ra khi có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1