137 replies to this topic

[lethanhson2703]

Sắp tới sẽ diễn ra kì thi VIOLYMPIC quốc gia. Mong topic sẽ giúp các bạn nhiều trong kỳ thi sắp tới

Mọi người tham gia TOPIC đăng bài phải trình bày rõ lời giải chứ không phải đáp án

Bài nào làm rồi thì tô đỏ nha mọi người

Làm bài nào nhớ trích bài đó đó

Mình xin mở đầu

1. Cho $a,b,c >0 $ thỏa mãn $21ab+2bc+8ac \le 12$

Tìm GTNN của BT : $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$

2. Cho dãy gồm 2015 số: $\frac{1}{1}; \frac{1}{2};...; \frac{1}{2015}$

            Người ta biến đổi dãy nói trên bằng cách xóa đi hai số u, v bất kì trong dãy và viết thêm vào dãy một số có giá trị bằng $u + v + uv$ vào vị trí của $u$ hoặc $v$. Cứ làm như vậy đối với dãy mới thu được và sau 2014 lần biến đổi đó, dãy cuối cùng chỉ còn lại một số. hãy tìm số cuối cùng đó.

Edited by lethanhson2703, 31-03-2015 - 18:55.

[Hoang Nhat Tuan]

Bài 2: $\left ( \frac{1}{1} +1\right )\left ( \frac{1}{2} +1\right )\left ( \frac{1}{3}+1 \right )...\left ( \frac{1}{2015}+1 \right )-1$ = 2015

[thopeokool]

 

1. Cho $a,b,c >0 $ thỏa mãn $21ab+2bc+8ac \le 12$

Tìm GTNN của BT : $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$

 

 

VNTST 2001, bài này hay 

 

Đặt $\dfrac{1}{a} = x; \dfrac{2}{b} = y; \dfrac{3}{c} = z$ 

Bài toán trở thành cho x;y;z > 0 thỏa $\dfrac{7}{xy} + \dfrac{2}{yz} + \dfrac{4}{xz} \le 2$. Tìm Min $P = x + y + z$ 

 

Có : $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{5/2} + \dfrac{15/2}{xy} \ge 3$ (1) 

 

$\dfrac{y}{5/2} + \dfrac{z}{2} + \dfrac{5}{yz} \ge 3 (2)$ 

 

$\dfrac{z}{2} + \dfrac{x}{3} + \dfrac{6}{xz} \ge 3 (3)$ 

 

$\rightarrow \dfrac{14}{15}. VT(1) + \dfrac{2}{5}.VT(2) + \dfrac{2}{3}.VT(3) \ge 3(\dfrac{14}{15} + \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{3})$ 

 

$\rightarrow \dfrac{8}{15}.P + (\dfrac{7}{xy} + \dfrac{2}{yz} + \dfrac{4}{xz}) \ge 6$ 

 

$\rightarrow P \ge \dfrac{15}{2}$ 

 

"=" $\leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}; y = \dfrac{4}{5}; z = \dfrac{3}{2}$ 

[Nguyen Hai Bang]

Vì giá trị của u, v là bất kì nên ta đặt $u=\dfrac{1}{n}, v=\frac{1}{n+1}$ (n nguyên dương) 

 

Ta có: $\dfrac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}=\dfrac{2(n+1)}{n(n+1)}=\frac{2}{n}$

 

Tiếp tục lấy kết quả trên cộng với $\frac{1}{n+2}$: $\dfrac{2}{n}+\frac{1}{n+2}=\frac{3}{n}$

 

Tương tự, sau 2014 lần ta có kết quả là $\frac{2015}{n}$. Thay n=1, ta có số cuối cùng là 2015.

Edited by Nguyen Hai Bang, 31-03-2015 - 15:46.

[lethanhson2703]

Tiếp tục nha:

3. Cho pt $2x^6+y^2-2x^3y-320=0$

Gọi $(x_1;y_1);...;(x_n;y_n)$ là tất cả nghiệm nguyên của  pt.

Tính $x_1+x_2+...+x_n$

4. Cho $a,b>0$ thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix}a^2+b^2+ab-3=0  &  & \\ a+b\leq 2  &  &  \end{matrix}\right.$

Tìm GTNN $A=a^2-ab+b^2$

Edited by lethanhson2703, 31-03-2015 - 20:40.

[Dinh Xuan Hung]

Tiếp tục nha:

3. Cho pt $2x^6+y^2-2x^3y-320=0$

Gọi $(x_1;y_1);...;(x_n;y_n)$ là tất cả nghiệm nguyên của  pt.

Tính $x_1+x_2+...+x_n$

 

$2x^6+y^2-2x^3y-320=0\Leftrightarrow (x^3)^2+(x^3-y)^2=320$

dễ thấy x nguyên và $-2\leq x\leq 2$

ta lần lượt thay vào thì có nghiệm x=-2 ; x=2 là thỏa mãn (với x nguyên ) 

nên $x_1+x_2+..+x_n=0$

Edited by Dinh Xuan Hung, 31-03-2015 - 20:26.

[Dinh Xuan Hung]

Tiếp tục nha:

 

4. Cho $a,b>0$ thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix}a^2+b^2+ab-3=0  &  & \\ a+b\leq 2  &  &  \end{matrix}\right.$

Tìm GTNN $A=a^2-ab+b^2$

Khi đó $A=a^2-ab+b^2=a^2+b^2+ab-2ab=3-2ab$

vì a,b>0 nên a+b>0 => $(a+b)^2 \le 4$

mà $4 \ge (a+b)^2 \ge 4ab$ nên $ab \le 1$

$=> A \ge 3-2 =1$

MIN A =1 khi a=b=1

[lethanhson2703]

5. Nghiệm nhỏ nhất của phương trình 

$\frac{1}{2 \sqrt{x}-2014}+\frac{1}{3\sqrt{x}+2013}=\frac{1}{2015-4\sqrt{x}}+\frac{1}{9\sqrt{x}-2016}$

6. Cho tứ giác $ABCD$ thay đổi luôn nội tiếp $(O; \sqrt{5}cm)$ và có hai đường chéo vuông góc với nhau tại $I$ sao cho $IO=1cm$

Diện tích tam giác $ICD$ đạt giá trị nhỏ nhất là

Edited by lethanhson2703, 03-04-2015 - 19:09.

[Dinh Xuan Hung]

Cho mình đóng góp mấy bài:

8.Để phương trình: $x^4+ax^3+bx^2+ax+1$ có nghiệm thì GTNN của $a^2+b^2$ là...

9.Cho điểm $A$ có hoành độ là $m$  thuộc đồ thị hàm số $(P):y=x^2$.Biết $B(3;0)$.Giá trị của $m$ để $AB$ nhỏ nhất là:...

10.Cho hệ $\left\{\begin{matrix} 2x^2+mx-1=0 & & \\ mx^2-x+2=0 & & \end{matrix}\right.$ Để hệ có nghiệm thì $m=$...

11.Cho pt:$(x+y)^3=(x-y-6)^2$.Gọi $(x_0;y_0)$là nghiệm nguyên dương duy nhất của pt.Tính $x_0+y_0=$...

12.Giá trị nhỏ nhất của $MA+MB$ trong hệ $Oxy$ .Biết $M\epsilon Ox;A(11;-7);B(4;6)$

Tăng tốc lên thôi 

lethanhson2703

 

Edited by Dinh Xuan Hung, 31-03-2015 - 20:51.

[lethanhson2703]

9. $A(m;m^2)$

$AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}=\sqrt{(m-3)^2+(m^2-0)^2}=\sqrt{m^4+m^2-6m+9}=\sqrt{(m^2-1)^2+3(m-1)^2+5}\geq \sqrt{5}\Leftrightarrow m=1$

[lethanhson2703]

 

11.Cho pt:$(x+y)^3=(x-y-6)^2$.Gọi $(x_0;y_0)$là nghiệm nguyên dương duy nhất của pt.Tính $x_0+y_0=$..

 

11. Từ $GT\Rightarrow \left | x-y-6 \right |>x+y$

Nếu $x\geq y+6=>\left | x-y-6 \right |=x-y-6> x+y\Leftrightarrow -2y-6>0$ mà $y>0$ , vô lý

Nếu $x< y+6\Rightarrow \left | x-y-6 \right |=y+6-x>x+y\Leftrightarrow 6-2x>0\Leftrightarrow x<3$ mà $x$ là số nguyên dương nên xét các trường hợp ta được $x=1;y=3$

Edited by lethanhson2703, 31-03-2015 - 21:13.

[lethanhson2703]

 

10.Cho hệ $\left\{\begin{matrix} 2x^2+mx-1=0 & & \\ mx^2-x+2=0 & & \end{matrix}\right.$ Để hệ có nghiệm thì $m=$...

 

10. Từ $PT(2 )$  ta được $PT2\Rightarrow m=\frac{x-2}{x^2}$

Thế vào $PT(1)$ ta được $2x^2+\frac{x^2-2x}{x^2}=1\Leftrightarrow 2x^4+x^2-2x=x^2\Leftrightarrow 2x(x^3-1)=0\Leftrightarrow x=1$

$\Rightarrow m=-1$

Edited by lethanhson2703, 31-03-2015 - 21:13.

[lethanhson2703]

 

12.Giá trị nhỏ nhất của $MA+MB$ trong hệ $Oxy$ .Biết $M\epsilon Ox;A(11;-7);B(4;6)$

 

12. Giả sử : $M(m;0)$

Khi đó $MA+MB= MA= \sqrt{(m-11)^2+7^2} + MB=\sqrt{(4-m)^2+6^2}$ $\ge \sqrt{(m-11+4-m)^2+(7+6)^2}=\sqrt{218}$

Vậy..

Edited by lethanhson2703, 31-03-2015 - 21:13.

[lethanhson2703]

 

8.Để phương trình: $x^4+ax^3+bx^2+ax+1$ có nghiệm thì GTNN của $a^2+b^2$ là...

 

8. Nhận xét $x=0$ không là nghiệm

Với $x\not =0$ thì 

$x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$ 

$\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+a(x+\frac{1}{x})+b=0$

$\Leftrightarrow t^2-2+at+b=0$ với $t=x+\frac{1}{x}$  $(|t|\geq 2)$

Ta có : $t^2-2+at+b=0$

$\Leftrightarrow (2-t^2)^2=(at+b)^2\leq (a^2+b^2)(1+t^2)$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{(2-t^2)^2}{1+t^2}\geq \frac{4}{5}$

$\Leftrightarrow (t^2-4)(5t^2-4)\geq 0$

Nên $Min(a^2+b^2)=\frac{4}{5}$

Edited by lethanhson2703, 31-03-2015 - 21:13.

[Dinh Xuan Hung]

5. Nghiệm nhỏ nhất của phương trình 

$\frac{1}{2 \sqrt{x}-2014}+\frac{1}{3\sqrt{x}+2013}=\frac{1}{2015-4\sqrt{x}}+\frac{1}{9\sqrt{x}-2016}$

 

ĐK:$x\neq 1007^2;\left ( \frac{2015}{4} \right )^2;\left ( \frac{2016}{9} \right )^2;x\geq 0$

Đặt $(2\sqrt{x}-2014;3\sqrt{x}+2013;2015-4\sqrt{x};9\sqrt{x}-2016)\rightarrow (a;b;c;d)$

Ta có:$a+b=c+d=5\sqrt{x}-1$

Khi đó:PT trở thành:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}=\frac{c+d}{ca}\Leftrightarrow ab=cd\Leftrightarrow (2\sqrt{x}-2014)(3\sqrt{x}+2013)=(2015-4\sqrt{x})(9\sqrt{x}-2016)\Leftrightarrow 42x-28215\sqrt{x}+8058=0\Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{2}{7}\Leftrightarrow x=\frac{4}{7}$

[Dinh Xuan Hung]

13.Cho pt:$\frac{x+1}{x-m+1}=\frac{x}{x+m+2}$.Tìm $m$ nguyên để pt trên vô nghiệm.

14.Số giá trị nguyên của $m$ để pt:$(m+1)x^2-2(m+2)x+2(m+1)=0$ có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 1 là ...

15.Cho $x,y$ thỏa mãn:$8x^2+y^2+\frac{1}{4x^2}=4$ Khi đó tìm min $xy$...

16.Nghiệm lớn nhất của pt:$\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}=2$  là : ...

 

 

Edited by Dinh Xuan Hung, 31-03-2015 - 21:49.

[lethanhson2703]

#Dinh à mấy bài này t thấy có trên topic ôn năm ngoái rồi, có thể tự tham khảo thêm mà.. Đăng lên trùng !!

T nghĩ nên xd các bài khác 

13.Cho pt:$\frac{x+1}{x-m+1}=\frac{x}{x+m+2}$.Tìm $m$ nguyên để pt trên vô nghiệm.

14.Số giá trị nguyên của $m$ để pt:$(m+1)x^2-2(m+2)x+2(m+1)=0$ có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 1 là ...

15.Cho $x,y$ thỏa mãn:$8x^2+y^2+\frac{1}{4x^2}=4$ Khi đó tìm min $xy$...

16.Nghiệm lớn nhất của pt:$\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}=2$  là : ...

 

 

[Dinh Xuan Hung]

#Dinh à mấy bài này t thấy có trên topic ôn năm ngoái rồi, có thể tự tham khảo thêm mà.. Đăng lên trùng !!

T nghĩ nên xd các bài khác 

Thôi tớ trót đăng lên rồi thì cứ để đấy tớ sẽ đăng những bài khác

17.Cho biểu thức $f(n)=\frac{2n+1+\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$. Tổng $S=f(1)+f(2)+...+f(2016)$=...

18.Tổng số tuổi của Anh và Vân hiện nay là 28.Biết tuổi của Anh hiện nay gấp đôi tuổi của Van vào lúc mà tuổi mà tuổi Anh bằng tuổi Vân hiện nay.Tuổi của Anh hiện nay là:...

19.Cho phương trình $x^2-mx+m^2-m-3=0$ có hai nghiệm $x_1;x_2$ là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác ABC,biết độ dài cạnh huyền BC=2.Tìm m để pt có 2 nghiệm tm đề bài.m=...

20.Giải pt:$\sqrt{35-2\sqrt{45-2x}}=x-5$

Edited by Dinh Xuan Hung, 31-03-2015 - 22:10.

[Dinh Xuan Hung]

 

17.Cho biểu thức $f(n)=\frac{2n+1+\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$. Tổng $S=f(1)+f(2)+...+f(2016)$=...

 

$f(n)=\frac{2n+1+\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{n+\sqrt{n(n+1)}+n+1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(n+\sqrt{n(n+1)}+n+1)}{n+1-n}=(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}$

khi đó:$f(1)=2\sqrt{2}-1;f(2)=3\sqrt{3}-2\sqrt{2};...;f(2016)=2017\sqrt{2017}-2016\sqrt{2016}\Rightarrow S=2017\sqrt{2017}-1$

[lethanhson2703]

21. Tìm tổng hai nghiệm của phương trình $\frac{2(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{3})}{(1-\sqrt{2}) (1-\sqrt{3})}+\frac{3(x-1)(x-\sqrt{3})} {(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-3)}+\frac{4(x-1)(x-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=2015x-1$