Chủ đề này có 2 trả lời

[tunglamlqddb]

Giả sử p là số nguyên tố có dạng 3k+2, với k là số tự nhiên. Chứng minh không tồn tại số nguyên x sao cho:

$p$ |$x^{2}+3$

[nhungvienkimcuong]

Giả sử p là số nguyên tố có dạng 3k+2, với k là số tự nhiên. Chứng minh không tồn tại số nguyên x sao cho:

$p$ |$x^{2}+3$

giả sử tồn tại $x$ thỏa

$\Rightarrow 1=\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{-1}{p} \right )\left ( \frac{3}{p} \right )$

mặt khác

$\left ( \frac{-1}{p} \right )=(-1)^{\frac{p-1}{2}}$

$(-1)^{\frac{p-1}{2}}=\left ( \frac{3}{p} \right )\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( \frac{3}{p} \right )\left ( \frac{2}{3} \right )=\left ( \frac{3}{p} \right ).(-1)$

thay vào biểu thức đầu thì ta có được

$-1=1$

điều trên vô lí nên có $Q.E.D$

 

U-Th

[phong than]

Đề bài thiếu điều kiện $p$ nguyên tố lẻ nhé.

Cách khác sơ cấp hơn:

Giả sử tồn tại số nguyên $x$ mà $p | x^2 + 3$, có thể giả sử $x$ lẻ vì nếu $x$ chẵn có thể thay $x$ bởi $p - x$.

Hay là $x = 2l + 1, l\in Z$.

$\Rightarrow p | 4(l^2 + l + 1)$.

$\Rightarrow p | l^2 + l + 1$. (1)

$\Rightarrow p | l^3 - 1$. (2).

Mặt khác theo định lý Fermat:

$p | l^{3k + 1} - 1$. (3).

Từ (2) và (3) suy ra $p | l - 1$, điều kiện này kết hợp với (1) suy ra $k | 3$ và điều này là mâu thuẫn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phong than: 04-04-2015 - 11:18