Chủ đề này có 7 trả lời

[tunglamlqddb]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn: a+b+c=3 CM:

$36(ab+bc+ca)\geq (a^{3}+b^{3}+c^{3})(a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3})$

[dogsteven]

Thấy rằng điểm rơi tại $a=2, b=1, c=0$ nên ta giả sử $a\geqslant b\geqslant c$, đặt $a=x, b+c=y$

Thấy rằng $ab+bc+ca\geqslant a(b+c),  a^3+b^3+c^3\leqslant a^3+(b+c)^3, (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3\leqslant a^3(b+c)^3$ thì ta có

$LHS-RHS\geqslant 36xy-x^3y^3(x^3+y^3)$ và vậy thì ta cần có $36\geqslant x^2y^2(x^3+y^3)=9x^2y^2(3-xy)$

$\Leftrightarrow (xy-2)^2(xy+1)\geqslant 0$ và bất đẳng thức này hiển nhiên đúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 31-03-2015 - 20:42

[tunglamlqddb]

đặt b+c=y

[tunglamlqddb]

bạn cho mình chút ý tưởng với! 

[dogsteven]

bạn cho mình chút ý tưởng với! 

Đầu tiên là tìm dấu bằng, thường thường thì đạt tại hai biến bằng nhau hoặc một biến bằng 0

Thay vào khảo sát được $a=2, b=1, c=0$ và các hoán vị và giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ để phòng.

Gọi $f(x,y,z)=VT-VP$, ta thử chọn $x,y$ sao cho $f(a,b,c)\geqslant f(x,y, 0)$ và lưu ý là đẳng thức đạt tại $x=2, y=1$ và $x+y=a+b+c$

Một cách tự nhiên ta chọn $x=\dfrac{2a+c}{2}, y=\dfrac{2b+c}{2}$ hoặc $x=a, y=b+c$, thấy rằng có lẽ $2a+c$ và $2b+c$ có hai cái $a,b$ nó gần gần tương tự nhau nhưng ở điểm rơi thì $a,b$ khá xa nhau. Thế chọn $x=a, y=b+c$ để cho nó xa xa chút và thế vào cũng ô kê luôn :v hên :v

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 31-03-2015 - 20:50

[tunglamlqddb]

Thấy rằng điểm rơi tại $a=2, b=1, c=0$ nên ta giả sử $a\geqslant b\geqslant c$, đặt $a=x, b+c=y$

Thấy rằng $ab+bc+ca\geqslant a(b+c),  a^3+b^3+c^3\leqslant a^3+(b+c)^3, (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3\leqslant a^3(b+c)^3$ thì ta có

$LHS-RHS\geqslant 36xy-x^3y^3(x^3+y^3)$ và vậy thì ta cần có $36\geqslant x^2y^2(x^3+y^3)=9x^2y^2(3-xy)$

$\Leftrightarrow (xy-2)^2(xy+1)\geqslant 0$ và bất đẳng thức này hiển nhiên đúng.

chỗ đó như nào bạn nhỉ? bạn giải thích giùm mình với!

[binhnhaukhong]

Ngoài cách dồn 1 biến về 0 ta hoàn toàn có thể dồn biến bằng phương pháp hàm số như sau.

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

Viết lại BĐT đã cho dưới dạng sau:

$P=[a^3+(b+c)^3-3bc(b+c)].[a^3((b+c)^3-3bc(b+c))+b^3c^3]-36a(b+c)-36bc]\leq 0$

Đặt $b+c=t,bc=s$ thì ta có $s\in \left [ 0,\frac{t^2}{4} \right ]$

Và ta có $P=f(s)=(a^3+t^3-3ts)(a^3t^3-3a^3ts+s^3)-36at-36s$ là hàm nghịch biến trên đoạn  $[ 0,\frac{t^2}{4} \right ]$

Vậy $f(s)\leq f(0)=[27-9t(3-t)].t^3(3-t)^3-36t(3-t)$

Đặt $x=t(3-t) \leq \frac{9}{4}$ ta phải chứng minh:

$(27-9x).x^2\leq 36$ tương đương với $(x-2)^2(x+1)\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 31-03-2015 - 21:30

[dogsteven]

chỗ đó như nào bạn nhỉ? bạn giải thích giùm mình với!

Do $a\geqslant b\geqslant c$ nên $a\geqslant \sqrt{bc}$ và ta có $b+c\geqslant \sqrt{bc}$

Do đó $b^3c^3=bc\sqrt{bc}.\sqrt{(bc)^3}\leqslant a^3.bc(b+c)\leqslant 3a^3bc(b+c)$