Chủ đề này có 4 trả lời

[yeudiendanlamlam]

Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}1\leq a,b,c\leq 3 & \\ a+b+c=6 & \end{matrix}\right.$.Chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2\leq 14$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeudiendanlamlam: 01-04-2015 - 20:54

[hoctrocuaZel]

http://diendantoanho...ac2alpha-3beta/

[the man]

Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}1\leq a,b,c\leq 3 & \\ a+b+c=6 & \end{matrix}\right.$.Chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2\leq 14$

Từ giả thiết ta có $(a-1)(b-1)(c-1)+(3-a)(3-b)(3-c)\geq 0\Rightarrow 2(ab+bc+ca)-22\geq 0\Rightarrow ab+bc+ca\geq 11\Rightarrow a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\leq 6^2-11.2=14$

Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(1,2,3)$ và các hoán vị

[dogsteven]

Giả sử $a$ là số lớn nhất thì $(b-1)(c-1)\geqslant 0\Leftrightarrow b^2+c^2\leqslant 1+(b+c-1)^2$

Do đó ta cần có $a^2+(5-a)^2\leqslant 13\Leftrightarrow (a-2)(a-3)\leqslant 0$ luôn đúng.

[nguyenhongsonk612]

Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}1\leq a,b,c\leq 3 & \\ a+b+c=6 & \end{matrix}\right.$.Chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2\leq 14$

Một cách khác

Đặt $a=x+2;b=y+2;c=z+2$ $\Rightarrow x+y+z=0$

Do $a,b,c \in [1;3]$ nên $0\leq |x|;|y|;|z|\leq 1$

Vì $x+y+z=0$ nên tồn tại ít nhất $2$ số cùng dấu

Không mất tính tổng quát, giả sử $2$ số đó là $x,y$ $\Rightarrow xy\geq 0$

BĐT cần C/m $\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\leq 2$

Do $0\leq |x|;|y|;|z|\leq 1$ nên ta có đánh giá sau 

$x^2\leq |x|;y^2\leq |y|;z^2\leq |z|$

$\Rightarrow VT\leq |x|+|y|+|z|=|x+y|+|z|=2|z|\leq 2$

Vậy BĐT được C/m

Dấu "=" xảy ra khi $(a;b;c)=(1;2;3)$ và các hoán vị