Chủ đề này có 11 trả lời

[Huyenpham]

Cho a,b,c thỏa mãn 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ và $a^3+b^3+c^3=1$

 

Tính $P=a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}$

[huuhieuht]

chứng minh được a+b+c>=9 từ (1/a+1/b+1/c)=1

cm đươc a+b+c<=((a^3+b^3+c^3)-6)/3=1(theo BĐt cô-si)

vậy a=b=c=1 suy ra P=3

[Huyenpham]

chứng minh được a+b+c>=9 từ (1/a+1/b+1/c)=1

cm đươc a+b+c<=((a^3+b^3+c^3)-6)/3=1(theo BĐt cô-si)

vậy a=b=c=1 suy ra P=3

nhưng mà nếu $a+b+c=1$ thì $s^3+b^3+c^3=$? mấy hả bạn

[arsfanfc]

chứng minh được a+b+c>=9 từ (1/a+1/b+1/c)=1

cm đươc a+b+c<=((a^3+b^3+c^3)-6)/3=1(theo BĐt cô-si)

vậy a=b=c=1 suy ra P=3

cm minh đc $a+b+c \leq 9$ chứ 

với lại bạn chứng minh $a+b+c \leq \frac{a^3+b^3+c^3-6}{3}$ hình như bị sai rồi

[hoanglong2k]

Nhầm ... 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 01-04-2015 - 22:47

[Nguyen Minh Hai]

 

Cho a,b,c thỏa mãn 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ và $a^3+b^3+c^3=1$

 

Tính $P=a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}$

 

$a,b,c$ có $\geq 0$ đâu mà mấy chú ở trên c/m được $a+b+c \geq 9$ với $a+b+c \leq 9$ !!! 

Từ giả thiết: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Rightarrow ab+bc+ca=abc$ (hiển nhiên $a,b,c \neq 0$)

Áp dụng hằng đẳng thức quen thuộc:

$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(ab+bc+ca)(a+b+c)+3abc$

$\Leftrightarrow 1=(a+b+c)^3-3(ab+bc+ca)(a+b+c)+3(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow (a+b+c-1)[(a+b+c)^2+(a+b+c)+1]-3(ab+bc+ca)(a+b+c-1)=0$

$\Leftrightarrow (a+b+c-1)(a^2+b^2+c^2+a+b+c-ab-bc-ca+1)=0$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} a+b+c=1 & & \\ a^2+b^2+c^2+a+b+c-ab-bc-ca+1=0 & & \end{bmatrix}$

Với $a+b+c=1$ thì ta có:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow (\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b+c})+(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=0$

$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$

Từ đây dễ dàng suy ra $P=1$

Với $a^2+b^2+c^2+a+b+c-ab-bc-ca+1=0$, ta có:

$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$

$\Rightarrow a+b+c \leq -1$

Đến đây chưa nghĩ ra     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 01-04-2015 - 22:58

[Nguyen Minh Hai]

Không phải đâu, là $a+b+c\geq \frac{9}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=9$ chứ

Ta lại có:

$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)\leq 1+3.\frac{(a+b+b+c+c+a)^3}{27}=1+\frac{8}{9}.(a+b+c)^3\Leftrightarrow (a+b+c)^3\leq 9\Leftrightarrow a+b+c\leq \sqrt[3]9$

Vậy suy ra đề sai 

Long ơi....$a,b,c$ đề chưa cho là ko âm nha !!

[Hoang Nhat Tuan]

$a,b,c$ có $\geq 0$ đâu mà mấy chú ở trên c/m được $a+b+c \geq 9$ với $a+b+c \leq 9$ !!! 

Từ giả thiết: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Rightarrow ab+bc+ca=abc$ (hiển nhiên $a,b,c \neq 0$)

Áp dụng hằng đẳng thức quen thuộc:

$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(ab+bc+ca)(a+b+c)+3abc$

$\Leftrightarrow 1=(a+b+c)^3-3(ab+bc+ca)(a+b+c)+3(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow (a+b+c-1)[(a+b+c)^2+(a+b+c)+1]-3(ab+bc+ca)(a+b+c-1)=0$

$\Leftrightarrow (a+b+c-1)(a^2+b^2+c^2+a+b+c-ab-bc-ca+1)=0$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} a+b+c=1 & & \\ a^2+b^2+c^2+a+b+c-ab-bc-ca+1=0 & & \end{bmatrix}$

Với $a+b+c=1$ thì ta có:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow (\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b+c})+(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=0$

$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$

Từ đây dễ dàng suy ra $P=1$

Với $a^2+b^2+c^2+a+b+c-ab-bc-ca+1=0$, ta có:

$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$

$\Rightarrow a+b+c \leq -1$

Đến đây chưa nghĩ ra     

Hải ơi, đến ngang đây chỉ cần xét 3 trường hợp nữa là ra rồi, xét trường hợp 2 số âm, 1 số dương

2 số dương, 1 số âm

cả 3 số đều dương

không có trường hợp cả 3 số cùng âm vì $a^{3}+b^{3}+c^{3}=1$

với mỗi trường hợp ta đều thấy $a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c-ab-bc-ca+1>0$

Cộng với phần trước của Hải nữa là hết

[Nguyen Minh Hai]

Hải ơi, đến ngang đây chỉ cần xét 3 trường hợp nữa là ra rồi, xét trường hợp 2 số âm, 1 số dương

2 số dương, 1 số âm

cả 3 số đều dương

không có trường hợp cả 3 số cùng âm vì $a^{3}+b^{3}+c^{3}=1$

với mỗi trường hợp ta đều thấy $a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c-ab-bc-ca+1>0$

Cộng với phần trước của Hải nữa là hết

Đến đây nhác giải quá  

[dera coppy]

Đến đây nhác giải quá

 

 

Hải ơi, đến ngang đây chỉ cần xét 3 trường hợp nữa là ra rồi, xét trường hợp 2 số âm, 1 số dương

2 số dương, 1 số âm

cả 3 số đều dương

không có trường hợp cả 3 số cùng âm vì $a^{3}+b^{3}+c^{3}=1$

với mỗi trường hợp ta đều thấy $a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c-ab-bc-ca+1>0$

Cộng với phần trước của Hải nữa là hết

nhưng mà phần $a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c-ab-bc-ca+1>0$ mình chưa hiểu

[Hoang Nhat Tuan]

nhưng mà phần $a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c-ab-bc-ca+1>0$ mình chưa hiểu

Xét 3 trường hợp như mình nói, đến đó dễ rồi, bạn cố giải là được

[Hoang Nhat Tuan]

nếu dễ vậy thì nói làm gi................................

bạn chịu khó giải iups mình được ko...............

ngày mốt mình thi HSG toán 8 cấp huyện rồi...............

đang tìm BT để ôn mà 0 tìm được........................................

Trường hợp 2 số âm 1 số dương: Giả sử a dương, b,c âm thì $a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c-ab-bc-ca+1=a^{2}-ab-ca+\frac{b^{2}}{2}+b+0,5+\frac{c^{2}}{2}+c+0,5+(\frac{b^{2}}{2}+bc+\frac{c^{2}}{2})$ 

>0

Các trường hợp khác giải tương tự

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 20-04-2015 - 22:25