Chủ đề này có 3 trả lời

[hangyeutara]

Cho x,y,z là các số thực lớn hơn -1

Chứng minh $\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hangyeutara: 03-04-2015 - 11:41

[Dinh Xuan Hung]

Cho x,y,z là các số thực lớn hơn -1

Chứng minh $\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\geq 2$

Đặt $\left ( 1+x^2;1+y^2;1+z^2 \right )\rightarrow \left ( a;b;c \right )$

$\sum \frac{1+x^2}{1+y+z^2}=\sum \frac{1+x^2}{\frac{1+y^2}{2}+z^2+1}=\sum \frac{2(1+x^2)}{1+y^2+2(z^2+1)}=\sum \frac{2a}{b+2c}=2\sum \frac{a^2}{ab+2ac}\geq 2.\frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ac)}\geq 2.\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=2$

[hangyeutara]

Đặt $\left ( 1+x^2;1+y^2;1+z^2 \right )\rightarrow \left ( a;b;c \right )$

$\sum \frac{1+x^2}{1+y+z^2}=\sum \frac{1+x^2}{\frac{1+y^2}{2}+z^2+1}=\sum \frac{2(1+x^2)}{1+y^2+2(z^2+1)}=\sum \frac{2a}{b+2c}=2\sum \frac{a^2}{ab+2ac}\geq 2.\frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ac)}\geq 2.\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=2$

Bạn giải thích thêm cho mình chỗ màu đỏ đc k (Từ chỗ dấu BĐT thứ 2)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hangyeutara: 04-04-2015 - 12:41

[Dinh Xuan Hung]

Bạn giải thích thêm cho mình chỗ màu đỏ đc k (Từ chỗ dấu BĐT thứ 2)

Chỗ màu đỏ đấy bạn sử dụng cái BĐT này 

Với các số dương ta luôn có:$\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\frac{a_3^2}{b_3}\geq \frac{(a_1+a_2+a_3)^2}{b_1+b_2+b_3}$