Trên mặt phẳng lấy cho 1999 điểm phân biệt tùy ý. Chứng minh rằng có một đường thẳng đi qua một điểm duy nhất trong 1999 điểm đã cho chia mặt phẳng thành hai miền không giao nhau sao cho mỗi miền chứa đúng 999 điểm trong các điểm đã cho.
Chứng minh rằng có một đường thẳng đi qua một điểm duy nhất...sao cho mỗi miền chứa 999 điểm trong các điểm đã cho
#1
Đã gửi 03-04-2015 - 21:45
#2
Đã gửi 04-04-2015 - 03:06
Trên mặt phẳng lấy cho 1999 điểm phân biệt tùy ý. Chứng minh rằng có một đường thẳng đi qua một điểm duy nhất trong 1999 điểm đã cho chia mặt phẳng thành hai miền không giao nhau sao cho mỗi miền chứa đúng 999 điểm trong các điểm đã cho.
Ta sẽ làm theo thuật toán như sau.
Chọn 1 điểm M ko thuộc 1999 điểm đó sao cho ko thẳng hàng với bất kì 2 điểm nào. Kẻ 1 tia Md bất kì đi qua 1 điểm tạo và chia mặt phẳng thành 2 phần A,B
Giả sử IAI>IBI ta sẽ chọn từ mp A chọn điểm $A_{1}$ sao cho $\widehat{A_{1}Md}$ nhỏ nhất.
kẻ tia Mt đi qua $A_{1}$.
Lúc đó mp A có IAI-1 điểm
mp B có IBI+1 điểm
Tiến hành các bước tương tụ ta sẽ luôn chuyển về được IAI=IBI.
- hoangtunglam và dcd000 thích
THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$???
TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026
#3
Đã gửi 04-04-2015 - 10:43
Ta sẽ làm theo thuật toán như sau.
Chọn 1 điểm M ko thuộc 1999 điểm đó sao cho ko thẳng hàng với bất kì 2 điểm nào. Kẻ 1 tia Md bất kì đi qua 1 điểm tạo và chia mặt phẳng thành 2 phần A,B
Giả sử IAI>IBI ta sẽ chọn từ mp A chọn điểm $A_{1}$ sao cho $\widehat{A_{1}Md}$ nhỏ nhất.
kẻ tia Mt đi qua $A_{1}$.
Lúc đó mp A có IAI-1 điểm
mp B có IBI+1 điểm
Tiến hành các bước tương tụ ta sẽ luôn chuyển về được IAI=IBI.
a giải kĩ hơn được ko
- Belphegor Varia yêu thích
#4
Đã gửi 04-04-2015 - 20:10
Trên mặt phẳng lấy cho 1999 điểm phân biệt tùy ý. Chứng minh rằng có một đường thẳng đi qua một điểm duy nhất trong 1999 điểm đã cho chia mặt phẳng thành hai miền không giao nhau sao cho mỗi miền chứa đúng 999 điểm trong các điểm đã cho.
Ta sẽ làm theo thuật toán như sau.
Chọn 1 điểm M ko thuộc 1999 điểm đó sao cho ko thẳng hàng với bất kì 2 điểm nào. Kẻ 1 tia Md bất kì đi qua 1 điểm tạo và chia mặt phẳng thành 2 phần A,B
Giả sử IAI>IBI ta sẽ chọn từ mp A chọn điểm $A_{1}$ sao cho $\widehat{A_{1}Md}$ nhỏ nhất.
kẻ tia Mt đi qua $A_{1}$.
Lúc đó mp A có IAI-1 điểm
mp B có IBI+1 điểm
Tiến hành các bước tương tụ ta sẽ luôn chuyển về được IAI=IBI.
Làm như thế chưa chắc đâu ! Biết đâu trong số $1999$ điểm cho trước, có $k$ điểm ($k>1$) nằm trong góc đối đỉnh với góc $\widehat{A_{1}Md}$ thì sao ? Khi đó miền $A$ không giảm đi $1$ điểm mà lại tăng thêm $k-1$ điểm.Còn miền $B$ không tăng thêm $1$ điểm mà lại giảm $k-1$ điểm.Vậy có chắc là "luôn chuyển về được $\left | A \right |=\left | B \right |$" không ?
Mình đề xuất cách khác như sau :
Kẻ tất cả các đường thẳng đi qua ít nhất $2$ trong $1999$ điểm đã cho.Gọi số đường thẳng như vậy là $k$ ($k$ là số hữu hạn)
Gọi $m$ là số phương của $k$ đường thẳng đó $\Rightarrow m\leqslant k$ (vì có thể có những đường thẳng song song) $\Rightarrow m$ cũng là số hữu hạn.
Vì số phương trong mặt phẳng là vô hạn nên ta hoàn toàn có thể chọn 1 phương khác với $m$ phương nói trên (gọi phương đó là phương $t$)
Qua mỗi điểm trong số $1999$ điểm đã cho, ta kẻ các đường thẳng song song với phương $t$ (như vậy kẻ được $1999$ đường thẳng song song)
Đặt tên các đường thẳng song song đó (theo thứ tự từ trái sang phải hoặc từ dưới lên trên) lần lượt là $d_{1},d_{2},...,d_{1999}$
Rõ ràng đường thẳng $d_{1000}$ chia mặt phẳng thành 2 miền, mỗi miền chứa đúng $999$ điểm (trong số $1999$ điểm đã cho)
- mnguyen99, hoctrocuaZel, Belphegor Varia và 1 người khác yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#5
Đã gửi 04-04-2015 - 20:37
Làm như thế chưa chắc đâu ! Biết đâu trong số $1999$ điểm cho trước, có $k$ điểm ($k>1$) nằm trong góc đối đỉnh với góc $\widehat{A_{1}Md}$ thì sao ? Khi đó miền $A$ không giảm đi $1$ điểm mà lại tăng thêm $k-1$ điểm.Còn miền $B$ không tăng thêm $1$ điểm mà lại giảm $k-1$ điểm.Vậy có chắc là "luôn chuyển về được $\left | A \right |=\left | B \right |$" không ?
Mình đề xuất cách khác như sau :
Kẻ tất cả các đường thẳng đi qua ít nhất $2$ trong $1999$ điểm đã cho.Gọi số đường thẳng như vậy là $k$ ($k$ là số hữu hạn)
Gọi $m$ là số phương của $k$ đường thẳng đó $\Rightarrow m\leqslant k$ (vì có thể có những đường thẳng song song) $\Rightarrow m$ cũng là số hữu hạn.
Vì số phương trong mặt phẳng là vô hạn nên ta hoàn toàn có thể chọn 1 phương khác với $m$ phương nói trên (gọi phương đó là phương $t$)
Qua mỗi điểm trong số $1999$ điểm đã cho, ta kẻ các đường thẳng song song với phương $t$ (như vậy kẻ được $1999$ đường thẳng song song)
Đặt tên các đường thẳng song song đó (theo thứ tự từ trái sang phải hoặc từ dưới lên trên) lần lượt là $d_{1},d_{2},...,d_{1999}$
Rõ ràng đường thẳng $d_{1000}$ chia mặt phẳng thành 2 miền, mỗi miền chứa đúng $999$ điểm (trong số $1999$ điểm đã cho)
bạn có thể hướng dẫn cách khác được không
mình chưa học nên không phương pháp này lắm ( cách THCS thì càng tốt )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dcd000: 04-04-2015 - 20:42
- Belphegor Varia yêu thích
#6
Đã gửi 05-04-2015 - 10:23
Làm như thế chưa chắc đâu ! Biết đâu trong số $1999$ điểm cho trước, có $k$ điểm ($k>1$) nằm trong góc đối đỉnh với góc $\widehat{A_{1}Md}$ thì sao ? Khi đó miền $A$ không giảm đi $1$ điểm mà lại tăng thêm $k-1$ điểm.Còn miền $B$ không tăng thêm $1$ điểm mà lại giảm $k-1$ điểm.Vậy có chắc là "luôn chuyển về được $\left | A \right |=\left | B \right |$" không ?
Mình đề xuất cách khác như sau :
Kẻ tất cả các đường thẳng đi qua ít nhất $2$ trong $1999$ điểm đã cho.Gọi số đường thẳng như vậy là $k$ ($k$ là số hữu hạn)
Gọi $m$ là số phương của $k$ đường thẳng đó $\Rightarrow m\leqslant k$ (vì có thể có những đường thẳng song song) $\Rightarrow m$ cũng là số hữu hạn.
Vì số phương trong mặt phẳng là vô hạn nên ta hoàn toàn có thể chọn 1 phương khác với $m$ phương nói trên (gọi phương đó là phương $t$)
Qua mỗi điểm trong số $1999$ điểm đã cho, ta kẻ các đường thẳng song song với phương $t$ (như vậy kẻ được $1999$ đường thẳng song song)
Đặt tên các đường thẳng song song đó (theo thứ tự từ trái sang phải hoặc từ dưới lên trên) lần lượt là $d_{1},d_{2},...,d_{1999}$
Rõ ràng đường thẳng $d_{1000}$ chia mặt phẳng thành 2 miền, mỗi miền chứa đúng $999$ điểm (trong số $1999$ điểm đã cho)
CÓ lẽ bài mình có thêm đk ràng buộc M sẽ đúng hơn: Gọi O là đường tròn bao phủ 1999 điểm. Do bán kính O hữu hạn nên ta có thể chọn M nằm ngoài O. Lúc đó góc đối đỉnh của $\widehat{A_{1}Md}$ sẽ ko tồn tại điểm nào trong 1999 điểm trên.
CÒn các làm của bạn mình nghĩ nên thêm đk cho t bởi vì t có vô hạn nên xác định như vậy thì hơi khó hiểu
- dcd000 yêu thích
THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$???
TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh