Chủ đề này có 3 trả lời

[Huyenpham]

Cho $x,y,z>0;x^2+y^2+z^2=1$ CMR

$\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\geq \frac{1}{3}$

[duaconcuachua98]

Cho $x,y,z>0;x^2+y^2+z^2=1$ CMR

$\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\geq \frac{1}{3}$

$\sum \frac{x^{3}}{y+2z}=\sum \frac{x^{4}}{xy+2xz}\geq \frac{\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{2}}{3(xy+yz+zx)}\geq \frac{1}{3}$

[HoangVienDuy]

Cho $x,y,z>0;x^2+y^2+z^2=1$ CMR

$\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\geq \frac{1}{3}$

$P\doteq \sum \frac{x^{4}}{xy+2xz}\geq \frac{(\sum x^{2})^{2}}{3\sum xy}\geq \frac{\sum x^{2}}{3}=\frac{1}{3}$

[hoanglong2k]

Cho $x,y,z>0;x^2+y^2+z^2=1$ CMR

$\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\geq \frac{1}{3}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

$\frac{x^3}{y+2z}+\frac{x(y+2z)}{9}\geq \frac{2x^2}{3}$

$\frac{y^3}{z+2x}+\frac{y(z+2x)}{9}\geq \frac{2y^2}{3}$

$\frac{z^3}{x+2y}+\frac{z(x+2y)}{9}\geq \frac{2z^2}{3}$

Cộng các bđt trên lại ta được:

$VT+\frac{xy+yz+zx}{3}\geq \frac{2}{3}(x^2+y^2+z^2)$

$\Rightarrow VT\geq \frac{2}{3}-\frac{xy+yz+zx}{3}\geq \frac{2}{3}-\frac{x^2+y^2+z^2}{3}=\frac{1}{3}$

 

( Chắc lớp 8 có học qua về Cauchy 2 số rồi nhỉ )