Chủ đề này có 4 trả lời

[manhhung2013]

Cho $abc\neq \pm 1$ và $\frac{ab+1}{b}=\frac{bc+1}{c}=\frac{ca+1}{a}$. Chứng minh rằng $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 05-04-2015 - 11:59

[Nguyen Minh Hai]

Cho abc$\neq \pm 1$ và $\frac{ab+1}{b}=\frac{bc+1}{c}=\frac{ca+1}{a}$. Chứng minh rằng a=b=c.

Nếu $ab=-1$ thì $bc=ca=-1$ do đó $a^2b^2c^2=-1$ (vô lý)

Do đó $ab,bc,ca \neq -1$

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} (ab+1)c=(bc+1)b & & & \\ (bc+1)a=(ca+1)c& & & \\ (ca+1)b=(ab+1)a & & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} abc+c=b^2c+b & & & \\ abc+a=c^2a+c & & & \\ abc+b=a^2b+a & & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 3abc=a^2b+b^2c+c^2a$

$\Rightarrow (a-b)(b-c)(c-a)=0$

$\Rightarrow a=b=c$

[the man]

 

$\Rightarrow 3abc=a^2b+b^2c+c^2a$

$\Rightarrow (a-b)(b-c)(c-a)=0$

$\Rightarrow a=b=c$

Sai rồi này 

Theo mình thì đề phải là "Chứng minh $a=b=c$ hoặc $a^2b^2c^2=1$

Mình làm như sau 

Từ giả thiết có $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}$

Do đó $a-b=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}=\frac{b-c}{bc}$

Tương tự với các biểu thức còn lại rồi nhân theo từng vế ta được $(a-b)(b-c)(c-a)=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{a^2b^2c^2}$

Công việc tiếp theo đơn giản rồi 

[Nguyen Minh Hai]

Sai rồi này 

Theo mình thì đề phải là "Chứng minh $a=b=c$ hoặc $a^2b^2c^2=1$

Mình làm như sau 

Từ giả thiết có $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}$

Do đó $a-b=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}=\frac{b-c}{bc}$

Tương tự với các biểu thức còn lại rồi nhân theo từng vế ta được $(a-b)(b-c)(c-a)=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{a^2b^2c^2}$

Công việc tiếp theo đơn giản rồi 

Bài bạn đúng rồi đó (1001 )

Nhưng mà đề ở đây bảo chứng minh $a=b=c$ nên bài của mình củng ko sai.Xét cả 3TH xảy ra thay vào giả thiết thì đều cho $a=b=c$

[tpdtthltvp]

$\frac{ab+1}{b}=\frac{bc+1}{c}=\frac{ca+1}{a}$\

=>$\frac{abca+ac}{abc}=\frac{abcb+ab}{abc}=\frac{abcc+bc}{abc}$

=>abca+ac=abcb+ab=abcc+bc

<=>a=b=c