Chủ đề này có 1 trả lời

[dcd000]

Chứng minh rằng nếu $a<b$ thì $a^{3}-3a\leq b^{3}-3b+4$

[Nguyen Minh Hai]

Chứng minh rằng nếu $a<b$ thì $a^{3}-3a\leq b^{3}-3b+4$

Vì $a<b$, đặt $b=a+x$ với $x>0$

Cần chứng minh:

$a^3-3a \leq (a+x)^3-3(a+x)+4$

 

$\Leftrightarrow a^3-3a \leq a^3+x^3+3ax(a+x)-3a-3x+4$

 

$\Leftrightarrow x^3+3ax(a+x)-3x+4 \geq 0$

 

$\Leftrightarrow x^3+3x(a^2+ax+\frac{x^2}{4})-\frac{3x^3}{4}-3x+4 \geq 0$

 

$\Leftrightarrow \frac{1}{4}(x^3-12x+16)+3x(a+\frac{x}{2})^2 \geq 0$

Luôn đúng do $x>0$, dấu $"="$ xảy ra khi $x=2,a=-1$ $\rightarrow b=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 05-04-2015 - 16:57