Cho tứ diện $SABC$ có $SA=SB=SC=1.$ Mặt phẳng $(P)$ thay đổi luôn đi qua trọng tâm $G$ của tứ diện $SABC$ lần lượt cắt các cạnh $SA,SB,SC$ tại $M,N,P.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{SM}+\frac{1}{SN}+\frac{1}{SP}=4.$
Cho tứ diện $SABC$ có $SA=SB=SC=1.$ Mặt phẳng $(P)$ thay đổi luôn đi qua trọng tâm $G$...
#1
Đã gửi 05-04-2015 - 18:14
“Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại
ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot
“Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn
những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”
-Mark Twain
Huỳnh Tiến Phát ETP
$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39
#2
Đã gửi 05-04-2015 - 21:58
Gọi G' là trọng tâm tam giác ABC. Dễ c/m: S,G,G' thẳng hàng và $\frac{SG}{SG'}=\frac{3}{4}$
Ta có: $\frac{SG}{SG'}.\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}=\frac{V_{S.MNG}}{V_{S.ABG'}}=3.\frac{V_{S.MNG}}{V_{S.ABC}}$
tuơng tự suy ra:
$\frac{SG}{SG'}(\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}+\frac{SN}{SB}.\frac{SP}{SC}+\frac{SP}{SC}.\frac{SM}{SA})=3.\frac{V_{S.MNG}+V_{S.NPG}+V_{S.PAG}}{V_{S.ABC}}=3.\frac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}}=3.\frac{SM.SN.SP}{SA.SB.SC}\Leftrightarrow SM.SN+SN.SP+SP.SA=4.SM.SN.SP\Rightarrow ĐPCM$
- phatthemkem yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh